Question

（2010•廣陽區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，16），D（24，0），點(diǎn)B在第一象限，且AB∥x軸，BD=20，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O開始沿y軸正半軸以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的平行線與BD交于點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿線段AB-BD以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)且時(shí)間為t（t＞0），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及BD所在直線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AB上（包括點(diǎn)B）運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S_△PQC與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若∠PQC=90°時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BF⊥OD于F，根據(jù)勾股定理就可以求出DF的長(zhǎng)，從而求得OF的長(zhǎng)，就可以求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可以求出直線BD的解析式．
（2）當(dāng)△PQC的面積為0時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合，利用三角形的面積公式建立等量關(guān)系就可以求出其t值．
（3）利用三角形相似求出EC的長(zhǎng)和BE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式建立等量關(guān)系就可以表示出S_△PQC與t的函數(shù)關(guān)系式
（4）若∠PQC=90°時(shí)，△BFD∽△PQC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例建立等量關(guān)系，從而求出t的值．

解答：解：（1）∵A（0，16），D（24，0）
∴AO=16，OD=24
過點(diǎn)B作BF⊥OD于F，
∴∠BOF=90°，AO∥BF，且AB∥x軸
∴四邊形ABFO是矩形
∴BF=AO=16
在Rt△BFD中，由勾股定理，得
FD=12
∴OF=12
∴B（12，16）
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得

16=12k+b 0=24k+b

，解得

k=- 4 3 b=32

∴直線BD的解析式為y=-

4

3

x+32

（2）∵PC∥OD
∴

EC

FD

=

BE

BF

∴

EC

12

=

16-4t

16

∴EC=12-3t
∴PC=24-3t，BE=16-4t
過點(diǎn)Q作QH⊥OD于H，
∴

DQ

BD

=

QH

BF

∵BQ=8t-12
∴DQ=32-8t
∴

32-8t

20

=

QH

16

，解得
QH=

108-32t

5

∴GQ=

108-52t

5

∴

108-52t 5  •(24-3t)

2

=0，解得
t₁=8（不符合題意），t₂=

27

13

∴當(dāng)t₂=

27

13

時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合．

（3）當(dāng)0＜t≤1.5時(shí)
S_△PQC=

(24-3t)(16-4t)

2

∴S_△PQC=6t²-72t+192
∴當(dāng)點(diǎn)Q在AB上（包括點(diǎn)B）運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S_△PQC與t的函數(shù)關(guān)系式為S_△PQC=6t²-72t+192

（4）∵

BE

BF

=

BC

BD

∴

20-DC

20

=

16-4t

16

∴DC=5t
∴CQ=32-13t
∵∠PQC=90°
∴△BFD∽△PQC
∴

FD

CQ

=

BD

PC

∴

12

32-13t

=

20

24-3t

，
解得t=

11

7

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．