Question

【題目】△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．

（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是 ．

（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，將QD繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+ BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，，則，由（1）可知BD+ BE=BC，由此即可得；

（3）過Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證∠BQF =120°，BQ=QF，進(jìn)而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，，進(jìn)而可證得，再根據(jù)cos∠EBD==cos60°=可求得，進(jìn)而求得，最后根據(jù)AQ=BQ－AB即可得到答案．

解：（1）

理由如下：

∵∠EAD=∠BAC=90°

∴∠EAB=∠DAC

在△ABE與△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS）

∴BE=CD，

∵BD+CD=BC

∴BD+ BE=BC

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC=

∴BD+ BE=；

（2）結(jié)論：，

理由如下：

過點(diǎn)A作AH⊥BC，

∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ABC=30°，

在Rt△ABH中，cos∠ABH==cos30°=

∴BH=AB，

∴

由（1）同理可知BD+ BE=BC，

∴；

（3）過Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∴

∴∠QFC=∠QBF =30°，∠BQF =120°

∴BQ=QF

由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，

∴cos∠EBD==cos60°=

∵

，

∴AQ=BQ－AB=．