Question

【題目】已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊所在直線上， PE＝PB．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，

求證：①PE＝PD，②PE⊥PD.

簡(jiǎn)析： 由正方形的性質(zhì)，圖1中有三對(duì)全等的三角形，

即△ABC≌△ADC，_______≌_______，和_______≌______，由全等三角形性質(zhì)，結(jié)合條件中PE＝PB，易證PE＝PD.要證PE⊥PD，考慮到∠ECD = 90°，故在四邊形PECD中，只需證∠PDC +∠PEC＝______即可.再結(jié)合全等三角形和等腰三角形PBE的性質(zhì)，結(jié)論可證.

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)若AB＝1，當(dāng)△PBE是等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出PB的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)△PAB；△PAD；△PBC；△PDC，180°；(2)成立，證明見解析；(3)或.

【解析】

（1）根據(jù)題意推導(dǎo)即可得出結(jié)論.

（2）求證PE⊥PB ，PE＝PB，由AC為對(duì)角線以及已知條件可先證明△PDC≌△PBC，得PD＝PB， PB＝PE，PE＝PD.由△PDC≌△PBC可得出∠PDC＝∠PBC，最后得出∠EPD＝∠FCE＝90°，即PE⊥PB.

(3) 分兩種情況討論當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí).

(1) 由正方形的性質(zhì)，圖1中有三對(duì)全等的三角形，

即△ABC≌△ADC，△PAB≌△PAD，和△PBC≌△PDC，由全等三角形性質(zhì)，結(jié)合條件中PE＝PB，易證PE＝PD.要證PE⊥PD，考慮到∠ECD = 90°，故在四邊形PECD中，只需證∠PDC +∠PEC＝180°即可.再結(jié)合全等三角形和等腰三角形PBE的性質(zhì)，結(jié)論可證.

(2)(1)中的結(jié)論成立．

①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，

∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，又　∵PC＝PC，

∴△PDC≌△PBC.

∴PD＝PB.

∵PB＝PE，

∴PE＝PD.

②由①得△PDC≌△PBC.

∴∠PDC＝∠PBC.

又∵PE＝PB，

∴∠PBE＝∠PEB.

∴∠PDC＝∠PEB

如圖，記DC與PE的交點(diǎn)為F，則∠PFD＝∠CFE.

∴∠EPD＝∠FCE＝90°.

∴PE⊥PB.

(3) 如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí),過點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H.設(shè)PB=x，則

，

∴，解得，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得；

當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△PBE是等邊三角形不成立.

綜上，x=或.