【題目】(10分)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸交于點M.
(1)求此拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接AC,在直線AC下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=,拋物線的對稱軸是 x=3;
(2)存在;P點坐標為(3,).
(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.N(,-3)
【解析】
(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5).
把點A(0,4)代入上式,解得a=.
∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4=(x-3)2-.
∴拋物線的對稱軸是x=3.
(2)存在,P點的坐標是(3,).如圖1,連接AC交對稱軸于點P,連接BP,AB.
∵點B與點C關(guān)于對稱軸對稱,
∴PB=PC.
∴AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC.
∴此時△PAB的周長最。
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.把A(0,4),C(5,0)代入y=kx+b,得
解得
∴y=-x+4.
∵點P的橫坐標為3,
∴y=-×3+4=.
∴P(3,).
(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N,使△NAC的面積最大.
如圖2,設(shè)N點的橫坐標為tt,此時點N(t,t2-t+4)(0<t<5).
過點N作y軸的平行線,分別交x軸,AC于點F,G,過點A作AD⊥NG,垂足為D.
由(2)可知直線AC的解析式為y=-x+4.
把x=t代入y=-x+4,得y=-t+4.
∴G(t,-t+4).
∴NG=-t+4-(t2-t+4)=-t2+4t.
∵AD+CF=OC=5,
∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=NG·AD+NG·CF=NG·OC
=×(-t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-)2+.
∵當t=時,△NAC面積的最大值為.
由t=,得y=×()2-×+4=-3.
∴N(,-3).
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,當四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.
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【題目】1952個正整數(shù)1,2,3,4,…,1952按如圖方式排列成一個表:
(1)如圖,用一正方形方框任意框住4個數(shù),記左上角的一個數(shù)為x,當被框住的4個數(shù)之和等于358時,x的值為多少?
(2)如(1)中方式,能否框住這樣的4個數(shù),它們的和等于2438?若能,則求出x的值;若不能,則說明理由.
(3)從左到右,第1到第6列各列數(shù)之和分別記為a1,a2,a3,a4,a5,a6,則這6個數(shù)中,最大數(shù)與最小數(shù)之差等于 .(直接填出結(jié)果,不寫計算過程)
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點(4,3)、(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)求出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸;
(3)在下圖中作出此二次函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象說明,當x取何值時,y<0?
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【題目】某市居民使用自來水按如下標準收費(水費按月繳納):
戶月用水量 | 單價 |
不超過的部分 | 元/ |
超過但不超過的部分 | 元/ |
超過的部分 | 元/ |
(1)當時,某用戶一個月用了水,求該用戶這個月應(yīng)繳納的水費;
(2)設(shè)某戶月用水量為立方米,當時,求該用戶應(yīng)繳納的水費(用含、的整式表示);
(3)當時,甲、乙兩用戶一個月共用水.已知甲用戶用水量超過了,設(shè)甲用戶這個月用水如,試求甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費.(用含的整式表示)
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【題目】小明和小兵兩人參加體育項目訓練,近期的5次測試成績?nèi)缦卤硭荆?/span>
1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | |
小明 | 10 | 14 | 13 | 12 | 13 |
小兵 | 11 | 11 | 15 | 14 | 11 |
根據(jù)以上信息,解決以下問題:
(1)小明成績的中位數(shù)是__________.
(2)小兵成績的平均數(shù)是__________.
(3)為了比較他倆誰的成績更穩(wěn)定,老師利用方差公式計算出小明的方差如下(其中表示小明的平均成績);
請你幫老師求出小兵的方差,并比較誰的成績更穩(wěn)定。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為1個單位的圓片上有一點A與數(shù)軸上的原點重合,AB是圓片的直徑.(結(jié)果保留π)
(1)把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周,點A到達數(shù)軸上點C的位置,點C表示的數(shù)是 數(shù)(填“無理”或“有理”),這個數(shù)是 ;
(2)把圓片沿數(shù)軸滾動2周,點A到達數(shù)軸上點D的位置,點D表示的數(shù)是 ;
(3)圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù),圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù),依次運動情況記錄如下:+2,﹣1,+3,﹣4,﹣3.第幾次滾動后,A點距離原點最近?第幾次滾動后,A點距離原點最遠?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去,若用有序數(shù)對(m,n)表示從上到下第m排,從左到右第n個數(shù),如(4,2)表示整數(shù)8.則(62,55)表示的數(shù)是_____.
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