Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

(1)求⊙O的半徑；

(2)點(diǎn)P為中點(diǎn)，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，連接PC，求tan∠PCA的值．

Answer 1

【答案】(1)⊙O的半徑為；(2)；(3)．

【解析】

(1)若連接OB，則△BCO是一個(gè)含30°角的直角三角形，△AOB是底角為30°的等腰三角形，可得∠OBC=30°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得OB；

(2) 連接OP，設(shè)AB與QP交于點(diǎn)M，根據(jù)題中條件證得∠QPO=∠A=30°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得OQ；

(3)可在Rt△PCQ中解決，分別計(jì)算出兩條直角邊，即可求出tan∠PCA的值．

(1)連接OB，如圖

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠A=30°，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠OBC=30°，

在Rt△OBC中，，

即，

解得，

即⊙O的半徑為；

(2)連接OP，設(shè)AB與QP交于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，

∴OP⊥AB，

∴∠QPO+∠PMB=90°，

∵PQ⊥AC，

∴∠A+∠AMQ=90°，

又∵∠AMQ=∠PMB，

∴∠QPO=∠A=30°，

在Rt△OPQ中，，

即，

∴

(3)在Rt△OBC中，

∵，∠OBC=30°，∠ACB=90°

∴，

∴，

∴．