Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸交于A（﹣3，0）和B（1，0）兩點，交y軸于點C（0，3），點C，D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B，D，交y軸為E．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）．

【解析】

（1）根據題意，設出拋物線的交點式，再根據拋物線過點C，可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據（1）中的拋物線的解析式可以求得點D的坐標，從而可以求得直線BD的解析式，進而求得點E的坐標，再根據三角形相似，即可求得 的值．

（1）設該函數的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1）

則3＝a（0+3）（0﹣1），

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，

即二次函數的解析式；是y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴該函數的對稱軸是直線x＝﹣1，

∵點C（0，3），點C，D是二次函數圖象上的一對對稱點，

∴點D的坐標為（﹣2，3），

設過點B（1，0）、點D（﹣2，3）的直線的函數解析式為y＝kx+b，

，得 ，

即直線BD的解析式為y＝﹣x+1，

當x＝0時，y＝﹣0+1＝0，

即點E的坐標為（0，1），

作DF⊥AB于點F，

∵DF⊥AB，EO⊥AB于點O，

∴△BEO∽△BDF，

∴=，

∵點B（1，0），點F（﹣2，0），

∴BO＝1，BF＝3，

∴= ，

∴＝．