Question

【題目】如圖，菱形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，邊BC在x軸上，且BC=5，sin∠ABC=，反比例函數(shù)（x>0）的圖象分別與AD，CD交于點M、點N，點N的坐標(biāo)是（3，n），連接OM，MC.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求證：△OMC是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AD=AB=5，再根據(jù)三角函數(shù)求出OA，進而利用勾股定理求出OB，求出點C，D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CD解析式，進而求出點N坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先求出點M坐標(biāo)，再用兩點間的距離公式求出OM和CM，即可得出結(jié)論．

：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=AD=BC=5，
在Rt△AOB中，sin∠ABC=，
∴OA=4，
根據(jù)勾股定理得，OB=3，
∴OC=BC-OB=2，
∴C（2，0），
∵AD=5，OA=4，
∴D（5，4），
∴直線CD的解析式為y=x-，
∵點N的坐標(biāo)是（3，n），
∴n=，
∴N（3，），
∵點N在反比例函數(shù)y=（x＞0）圖形上，
∴k=3×=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；
（2）由（1）知，反比例函數(shù)的解析式為y=，
∵點M在AD上，
∴M點的縱坐標(biāo)為4，
∴點M的橫坐標(biāo)為1，
∴M（1，4），
∵C（2，0），
∴OM=，CM=，
∴OM=CM，
∴△OMC是等腰三角形．