Question

將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．設(shè)A、P兩點間的距離為x．
（1）當(dāng)點Q在邊CD上時，請你測量線段PQ與線段PB的長度（至少兩次），將你測量的實際結(jié)果填入下表，由此猜想線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系并證明你得到的結(jié)論；

	線段PQ的長度	線段PB的長度
第一次
第二次

（2）當(dāng)點Q在邊CD上時，設(shè)線段CQ的長度為y，求y與x之閭的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)點Q在邊DC的延長線上時，設(shè)線段CQ的長度為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（4）當(dāng)點P在線段AC上滑動時，△PCQ的面積s能否等于

3 2

8

和

1

16

？如果可能，求出相應(yīng)的x值；如果不可能，試說明理由．（圖①，②，③的形狀大小相同，圖①供操作、實驗用，圖②，③備用）．

Answer 1

分析：（1）測量略．PB=PQ
可通過構(gòu)建全等三角形來證PB=PQ，過點P作PF⊥BC于點F，PE⊥CD于點E，由于△PEC是等腰直角三角形，因此PE=EC，可得出四邊形PECF是正方形，由此可得出PE=PF，根據(jù)同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE，這兩個三角形中又有一組直角，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中ASA的條件．根據(jù)全等三角形即可得出PB=PQ．
（2）可先用x表示出PC，然后在直角三角形PFC中求出FC的長，即可求出BF的長，也就求出了CE，QE的長，然后根據(jù)CQ=CE-QE即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)Q在CD延長線上時，CQ=EQ-EC，解法同（2）．
（4）由于△PCQ面積最大時，P與A重合，Q與D重合，此時面積為

1

2

＜

3 2

8

，因此無論什么時候面積都不可能是

3 2

8

．
當(dāng)面積為

1

16

時，可根據(jù)（2）（3）兩種情況進(jìn)行分類討論，通過得出不同的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出符合條件的x的值．

解答：解：（1）（說明：表略，兩線段長度基本相等即可）經(jīng)測量，得PB=PQ
證明：如圖，過點P作PF⊥BC于點F，PE⊥CD于點E，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四邊形PFCE是正方形．
∴PE=PF．
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90°，
∴△BPF≌△QPE．
∴BP=PQ；

（2）∵AP=x，CQ=y，
∵AB=BC=1，
∴AC=

2

，
∵PFCE是正方形，
∴PC=

2

-x，
∴CE=1-

2

2

x，
∴BF=1-FC=1-（1-

2

2

x），
=

2

2

x，
∴EQ=

2

2

x，
∴y=CQ=（1-

2

2

x）-

2

2

x=1-

2

x，
∴y=1-

2

x（0≤x≤

2

2

）；

（3）由（2）易證：當(dāng)點Q在邊DC的延長線上時，
∵PC=

2

-x，利用勾股定理得出：
∴EC=1-

2

2

x，
EQ=BF=MP=

2

2

x，
CQ=EQ-EC=

2

x-1
Y=

2

x-1（

2

2

≤x≤

2

）；

（4）當(dāng)點P在線段AC上滑動時，△PCQ的最大面積為

1

2

∴△PCQ的面積不可能是

3 2

8

當(dāng)0≤x≤

2

2

時，
S=

1

2

-

3 2

4

x+

1

2

x2=

1

16

解得x₁=

3 2 +2

4

（舍去），x₂=

3 2 -2

4

∴此時x=

3 2 -2

4

10分
當(dāng)

2

2

≤x≤

2

時
S_△PCQ=

1

2

CQ•PE=-

1

2

+

3 2

4

-

1

2

x2=

1

16

解得x₃=x₄=

3 2

4

．
綜上所述，當(dāng)P在線段AC上滑動時，△PCQ的面積不可能為

3 2

8

，可能為

1

16

．
此時x的值為

3 2 -2

4

和

3 2

4

．

點評：本題結(jié)合運(yùn)動類問題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．