Question

操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，直角的另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q．
探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，問當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ能否成為等腰三角形：

 

（用“能”或“不能”填空）．若能，直接寫出使△PCQ成為等腰三角形時(shí)相應(yīng)的x的值；若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由：

 

．

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PE⊥CD于點(diǎn)E，易證得四邊形PFCE是正方形，設(shè)AP=x，CQ=y，易求得當(dāng)Q在DC上時(shí)，y=1-

2

x，當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，y=

2

x-1，然后分別分析PC=CQ與PQ=QC時(shí)的情景，即可求得答案．

解答：解：能．
理由：
如圖，當(dāng)Q在DC上時(shí)，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PE⊥CD于點(diǎn)E，
∵∠BCD=90°
∴四邊形PFCE是矩形，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四邊形PFCE是正方形．
∵AP=x，CQ=y，
∵AB=BC=1，
∴AC=

2

，
∵四邊形PFCE是正方形，
∴PC=

2

-x，
∴CE=1-

2

2

x，
∴BF=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x，
∴EQ=

2

2

x，
∴y=CQ=（1-

2

2

x）-

2

2

x=1-

2

x，
∴y=1-

2

x（0≤x≤

2

2

）；
同理：當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵PC=

2

-x，利用勾股定理得出：EC=1-

2

2

x，
EQ=BF=MP=

2

2

x，
∴CQ=EQ-EC=

2

x-1，
∴y=

2

x-1（

2

2

≤x≤

2

）；
∴①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此時(shí)x=0；
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ時(shí)，△PCQ是等腰三角形（如圖），此時(shí)，QN=PM=

2

2

x，CP=

2

-x，CN=

2

2

CP=1-

2

2

x，
∴CQ=QN-CN=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
當(dāng)

2

-x=

2

x-1時(shí)，得x=1．
∴當(dāng)x=0或1時(shí)，△PCQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．