Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分線(xiàn)．

（1）求證：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周長(zhǎng)是a，BC=b，求△ACD的周長(zhǎng)（用含a，b的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB= =72°，

∵DE是AC的垂直平分線(xiàn)，

∴AD=DC，

∴∠ACD=∠A=36°，

∵∠CDB是△ADC的外角，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形

（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周長(zhǎng)是a，

∴AB=a﹣b，

∵AB=AC，

∴AC=a﹣b，

∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB=72°，根據(jù)中垂線(xiàn)的性質(zhì)得出AD=DC，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACD=∠A=36°，根據(jù)三角形的外角和定理得出∠CDB=∠ACD+∠A=72°，從而得出∠B=∠CDB，即△BCD是等腰三角形 ；
（2）根據(jù)AD=CD=CB=b，△BCD的周長(zhǎng)是a，得出AB=AC=a﹣b，從而得出△ACD的周長(zhǎng)=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b 。