Question

已知BE、CF是銳角△ABC的兩條高，求證∠ABE的平分線、∠ACF的平分線與線段EF的垂直平分線相交于一點．

Answer 1

分析：設∠ABE的平分線與∠ACF的平分線相交于點N，連接NE、NF．由BE⊥AC，CF⊥AB，根據同角的余角相等得到∠ABE=∠ACF，再由角平分線定義得到∠FBN=∠FCN．由此判斷B、C、N、F四點共圓，即得到B、C、E、N、F五點共圓．而∠FBN=∠NBE，得到NF=NE，所以N在EF的垂直平分線上．

解答：解：如圖．設∠ABE的平分線與∠ACF的平分線相交于點N，連接NE、NF．
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF，
而BN，CN分別為∠ABE和∠ACF的平分線，
∴∠FBN=∠FCN．
∴B、C、N、F四點共圓．
∴B、C、E、N、F五點共圓．
∵∠FBN=∠NBE，
∴NF=NE．
∴N在EF的垂直平分線上．
即∠ABE的平分線、∠ACF的平分線與線段EF的垂直平分線相交于一點．

點評：本題考查了四點共圓的判定與性質．也考查了圓周角定理以及角平分線的性質．