【題目】如圖所示,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;

(3)點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn),CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F,交拋物線于P、Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P在第三象限.

①當(dāng)線段PQ 時(shí),求tan∠CED的值;

②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(參考公式:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.(2)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為.(3)①,

【解析】試題分析:1)利用拋物線的對稱軸方程可計(jì)算出b=-2,再把C0,-3)代入拋物線解析式可得到c=-3,所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3;

2)根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到A-1,0),B3,0),然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式;

3①由AB=4PQ=AB=3,根據(jù)拋物線的對稱性得到P點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱,則P-,- ),所以F0,-),則FC=3-OF= ,由于PQ垂直平分CE于點(diǎn)F,則CE=2FC=,易得D1,-2),過點(diǎn)DDGCE于點(diǎn)G,如圖1,則DG=1,CG=1,所以GE=CE=CG= ,然后在RtEGD中,利用正切的定義求解;

②設(shè)E0,t),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到DE2=12+t+22,CD2=12+-2+32=2,EC2=t+32,然后分類討論:當(dāng)∠CDE=90°時(shí),DE2+CD2=EC2,即12+t+22+2=t+32;當(dāng)∠CED=90°時(shí),DE2+CE2=CD2,即12+t+22+t+32=2;當(dāng)∠ECD=90°時(shí),CD2+CE2=DE2,即2+t+32=12+t+22,再分別解方程求出t確定E點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:

1)依題意得 , 解得

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

2)令=0,得,

所以A(-10),B(3,0)

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為,

代入點(diǎn)B(30)和點(diǎn)C(0,-3),得

解得

所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為

3①如圖2所示,因?yàn)?/span>AB4,所以PQ.因?yàn)?/span>P、Q關(guān)于直線x1對稱,

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)F的坐標(biāo)為

所以 ,

所以 ,點(diǎn)E的坐標(biāo)為

直線BC: 與拋物線的對稱軸x1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-2).

過點(diǎn)DDHy軸,垂足為H RtEDH中,DH1, ,

所以tanCED

②由圖3、圖4得點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ,

2 3 4

點(diǎn)睛:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和等腰直角三角形的性質(zhì),在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】閱讀下面材料:如圖1,圓的概念:在平面內(nèi),線段PA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.就是說,到某個(gè)定點(diǎn)等于定長的所有點(diǎn)在同一個(gè)圓上.圓心在P(a,b),半徑為r的圓的方程可以寫為:(x-a)2+(y-b)2=r2.如:圓心在P(2,-1),半徑為5的圓的方程為:(x-2)2+(y+1)2=25.

(1)填空: ①以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓的方程為:________; ②以B(-1,-2)為圓心, 為半徑的圓的方程為:________;

(2)根據(jù)以上材料解決以下問題:

如圖2,B(-6,0)為圓心的圓與y軸相切于原點(diǎn),C是☉B上一點(diǎn),連接OC,BDOC垂足為D,延長BDy軸于點(diǎn)E,已知sinAOC=.

①連接EC,證明EC是☉B的切線;

②在BE上是否存在一點(diǎn)P,使PB=PC=PE=PO,若存在,P點(diǎn)坐標(biāo),并寫出以P為圓心,PB為半徑的☉P的方程;若不存在,說明理由.

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【題目】如圖,菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為4和6,∠A=120°,則陰影部分的面積是

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(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“很喜歡”的部分所對應(yīng)的圓心角為  度;條形統(tǒng)計(jì)圖中,“很喜歡”月餅中喜歡“豆沙”月餅的學(xué)生有  人;

(2)若該校共有學(xué)生1200人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生中“很喜歡”月餅的有  人.

(3)李民同學(xué)最愛吃蓮蓉月餅,陳麗同學(xué)最愛吃豆沙月餅,現(xiàn)有重量、包裝完全一樣的豆沙、蓮蓉、蛋黃

三種月餅各一個(gè),讓李民、陳麗每人各選一個(gè),則李民、陳麗兩人都選中自己最愛吃的月餅的概率為

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(1)點(diǎn)P在右半弧上(∠BOP是銳角),將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得OP′. 求證:AP = BP′;

(2)點(diǎn)T在左半弧上,若AT與弧相切于點(diǎn)T,求點(diǎn)T到OA的距離;

(3)設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧上,當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí),直接寫出∠BOQ的度數(shù).

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