Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)M為拋物線y＝﹣x2+bx+c上異于點(diǎn)C的一個點(diǎn)，且S△OMC＝S△ABC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為x軸上方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，直線AP、BP分別交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E、F．請問DE+DF是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）(2，﹣5)或(﹣2，3)；（3）是定值，8

【解析】

（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）S△ABC＝××AB×OC＝×4×3＝3，而S△OMC＝×OC×||＝||＝3，即可求解；

（3）求出直線AP、BP的函數(shù)表達(dá)式，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）對于拋物線y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，則x＝﹣3或1，

故點(diǎn)B（1，0），

∴S△ABC＝××AB×OC＝×4×3＝3，

∵S△OMC＝×OC×||＝||＝3，解得：＝±2，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（﹣2，3）；

（3）是定值，理由：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣2m+3），

設(shè)直線AP的表達(dá)式為：y＝kx+t，則，解得，

故直線AP的表達(dá)式為：y＝﹣（m﹣1）（x+3），

當(dāng)x＝＝﹣1時，y＝2﹣2m，即點(diǎn)E（﹣1，2﹣2m），即DE＝2﹣2m，

同理可得，直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣（m+3）（x﹣1），

當(dāng)x＝﹣1時，y＝2m+6，故點(diǎn)F（﹣1，2m+6），即DF＝2m+6，

∴DE+DF＝2﹣2m+2m+6＝8，為定值．