【題目】我們定義:如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊相等,且它們的夾角互補(bǔ),我們就把其中一個(gè)三角形叫做另一個(gè)三角形的“夾補(bǔ)三角形”,同時(shí)把第三邊的中線叫做“夾補(bǔ)中線.例如:圖1中,△ABC與△ADE的對(duì)應(yīng)邊AB=AD,AC=AE,∠BAC+∠DAE=180°,AF是DE邊的中線,則△ADE就是△ABC的“夾補(bǔ)三角形”,AF叫做△ABC的“夾補(bǔ)中線”.
特例感知:
(1)如圖2、圖3中,△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”,AF是△ABC的“夾補(bǔ)中線”;
①當(dāng)△ABC是一個(gè)等邊三角形時(shí),AF與BC的數(shù)量關(guān)系是: ;
②如圖3當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí),∠BAC=90°,BC=a時(shí),則AF的長(zhǎng)是 ;
猜想論證:
(2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí),猜想AF與BC的關(guān)系,并給予證明.
拓展應(yīng)用:
(3)如圖4,在四邊形ABCD中,∠DCB=90°,∠ADC=150°,BC=2AD=6,CD=,若△PAD是等邊三角形,求證:△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”,并求出它們的“夾補(bǔ)中線”的長(zhǎng).
【答案】(1)AF=BC;a;(2)猜想:AF=BC,(3)
【解析】
(1)①先判斷出AD=AE=AB=AC,∠DAE=120°,進(jìn)而判斷出∠ADE=30°,再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
②先判斷出△ABC≌△ADE,利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出△AEG≌△ACB,得出EG=BC,再判斷出DF=EF,即可得出結(jié)論;
(3)先判斷出四邊形PHCD是矩形,進(jìn)而判斷出∠DPC=30°,再判斷出PB=PC,進(jìn)而求出∠APB=150°,即可利用“夾補(bǔ)三角形”即可得出結(jié)論.
解:(1)
∵△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAC+∠DAE=180°,
①∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°
∴AD=AE=AB=AC,∠DAE=120°,
∴∠ADE=30°,
∵AF是“夾補(bǔ)中線”,
∴DF=EF,
∴AF⊥DE,
在Rt△ADF中,AF=AD=AB=BC,
故答案為:AF=BC;
②當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí),∠BAC=90°,
∵∠DAE=90°=∠BAC,
易證,△ABC≌△ADE,
∴DE=BC,
∵AF是“夾補(bǔ)中線”,
∴DF=EF,
∴AF=DE=BC=a,
故答案為a;
(2)解:猜想:AF=BC,
理由:如圖1,延長(zhǎng)DA到G,使AG=AD,連EG
∵△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAC+∠DAE=180°,
∴AG=AB,∠EAG=∠BAC,AE=AC,
∴△AEG≌△ACB,
∴EG=BC,
∵AF是“夾補(bǔ)中線”,
∴DF=EF,
∴AF=EG,
∴AF=BC;
(3)證明:如圖4,
∵△PAD是等邊三角形,
∴DP=AD=3,∠ADP=∠APD=60°,
∵∠ADC=150°,
∴∠PDC=90°,
作PH⊥BC于H,
∵∠BCD=90°
∴四邊形PHCD是矩形,
∴CH=PD=3,
∴BH=6﹣3=3=CH,
∴PC=PB,
在Rt△PCD中,tan∠DPC=,
∴∠DPC=30°
∴∠CPH=∠BPH=60°,∠APB=360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC=150°,
∴∠APB+∠CPD=180°,
∵DP=AP,PC=PB,
∴△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”,
由(2)知,CD=,
∴△PAB的“夾補(bǔ)中線”=.
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(1)經(jīng)過多少時(shí)間,的面積等于矩形面積的?
(2)是否存在時(shí)刻t,使以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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(2)設(shè)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0),且滿足x12+x22=31+|x1x2|,求實(shí)數(shù)m的值.
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【題目】我們定義一種新的運(yùn)算“”:對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù),,,,可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)與,并且規(guī)定:.
例如: .
根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題:
(1)計(jì)算: ;
(2)若有理數(shù)對(duì),則 ;
(3)若有理數(shù)對(duì)成立,則解得是整數(shù),求整數(shù)的值
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【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上,∠CDA=∠CBD.
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(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的長(zhǎng).
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【題目】為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額,校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué),根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出了如下兩個(gè)尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表
組別 | 分組單位:元 | 人數(shù) |
A | 4 | |
B | 16 | |
C | a | |
D | b | |
E | 2 |
請(qǐng)根據(jù)以上圖表,解答下列問題:
填空:這次被調(diào)查的同學(xué)共有______ 人, ______ , ______ ;
求扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù);
該校共有學(xué)生1000人,請(qǐng)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額x在范圍的人數(shù).
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