【題目】(本題滿分12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將拋物線的對稱軸繞著點P(,2)順時針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于A、B兩點,點Q是該拋物線上的一點.
(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖①,若點Q在直線AB的下方,求點Q到直線AB的距離的最大值;
(3)如圖②,若點Q在y軸左側(cè),且點T(0,t)(t<2)是直線PO上一點,當(dāng)以P、B、Q為頂點的三角形與△PAT相似時,求所有滿足條件的t的值.
【答案】(1)y=x+2;
(2)當(dāng)m=時,點Q到直線AB的距離的最大,最大距離為;
(3)t=1或t=0或t=1-或t=3-.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意求出直線AB與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求解;(2)過點Q作x軸的垂線QC,交AB于點C,再過點Q作直線AB的垂線,垂足為D,設(shè)Q(m,m2),則C(m,m+2),用m表示出QC的長,再根據(jù)QC與QD的關(guān)系,構(gòu)造QD與m的二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的的性質(zhì)即可求得點Q到直線AB的距離的最大值;(3)由題意可知∠APT=45°,△PBQ中必有一個內(nèi)角等于45°,由圖知∠BPQ=45°不合題意.分兩種情況,①若∠PBQ=45°,可得BQ∥x軸,可證得△BPQ為等腰直角三角形,若△PAT與△BPQ相似,則△PAT也是等腰直角三角形,在分∠PAT為直角或∠PAT為直角兩種情況求t值;②若∠PQB=45°,①中是情況之一,答案同上;現(xiàn)以點F為圓心,F(xiàn)B為半徑作圓,則P、B、Q1都在⊙F上,設(shè)⊙F與y軸左側(cè)的拋物線交于另一點Q2,根據(jù)圓周角定理可得∠PQ2B=∠PQ1B=45°,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似,也分兩種情況(i)△Q2PB∽△PAT,(ii)△Q2BP∽△PAT,根據(jù)三角形相似,利用相似的性質(zhì)求t值.
試題解析:解:(1)設(shè)直線AB與x軸的交點為M,∵∠OPA=45°,
∴OM=OP=2,即點M的坐標(biāo)為(-2,0).
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b,將M(-2,0)和P(,2)兩點坐標(biāo)代入,
得,解得,故直線AB的函數(shù)解析式為y=x+2.
過點Q作x軸的垂線QC,交AB于點C,再過點Q作直線AB的垂線,垂足為D,
根據(jù)條件可知△QDC為等腰直角三角形.
所以QD=,
設(shè)Q(m,m2),則C(m,m+2),
∴QC=m+2-m2=
QD==.
故當(dāng)m=時,點Q到直線AB的距離的最大,最大距離為.
∵∠APT=45°,∴△PBQ中必有一個內(nèi)角等于45°,由圖知∠BPQ=45°不合題意.
①若∠PBQ=45°,過點B作x的平行線,與拋物線和y軸分別交于點Q、F,此時滿足∠PBQ1=45°.
∵Q1(-2,4)、F(0,4),∴此時△BPQ1為等腰直角三角形,由題意可知△PAT也為等腰直角三角形.
(i)當(dāng)∠PAT為直角時,得PT=AT=1,此時t=1;
(ii)當(dāng)∠PAT為直角時,得PT=2,此時t=0.
②若∠PQB=45°,①中是情況之一,答案同上;
現(xiàn)以點F為圓心,F(xiàn)B為半徑作圓,則P、B、Q1都在⊙F上,設(shè)⊙F與y軸左側(cè)的拋物線交于另一點Q2,
∵∠PQ2B=∠PQ1B所對的弧相同,
∴∠PQ2B=∠PQ1B=45°.
即這里的交點Q2也符合要求.
設(shè)Q2(n,n2)(-2<n<0),由FQ2=2,得,
即,解得,
而-2<n<0,故n=,即Q2(,3).
可證△PFQ2為等邊三角形,所以∠PFQ2=60°,又弧PQ2=弧PQ2
所以∠PBQ2=∠PFQ2=30°,則在△PQ2B中,∠PQ2B=45°,∠PBQ2=30°.
(i)若△Q2PB∽△PAT,則過點A作y軸垂線,垂足為E.
則ET=AE=,OE=1,∴OT=-1,解得t=1-.
(ii)若△Q2BP∽△PAT,則過點T作直線AB的垂線,垂足為G.
設(shè)TG=a,則PG=TG=a,AG=TG=a,AP=
∴a+a=,解得PT=a=-1
∴OT=OP-PT=3-,∴t=3-.
綜上所述,所求t的值為t=1或t=0或t=1-或t=3-.
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【題目】(知識回顧)
七年級學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時,遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與的取值無關(guān),求的值”,通常的解題方法是:把、看作字母,看作系數(shù)合并同類項,因為代數(shù)式的值與的取值無關(guān),所以含項的系數(shù)為0,即原式=,所以,則.
(理解應(yīng)用)
(1)若關(guān)于的多項式的值與的取值無關(guān),求m值;
(2)已知,,且3A+6B的值與無關(guān),求的值;
(能力提升)
(3)7張如圖1的小長方形,長為,寬為,按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi),大長方形中未被覆蓋的兩個部分(圖中陰影部分),設(shè)右上角的面積為,左下角的面積為,當(dāng)AB的長變化時,的值始終保持不變,求與的等量關(guān)系.
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【題目】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/span>
(1)(6x-1)2=25;
(2)x2-2x=2x-1;
(3)x2-x=2;
(4)x(x-7)=8(7-x).
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【題目】為了節(jié)省空間,家里的飯碗一般是豎直擺放的,如果只飯碗(形狀、大小相同)豎直擺放的高度為只飯碗豎直擺放的高度為.如圖所示,小穎家的碗櫥每格的高度為則一摞碗豎直放人櫥柜時,每格最多能放________________________.
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【題目】如圖所示,AB、CD相交于點O,若BE平分∠ABD交CD于F,CE平分∠ACD交AB于G,∠A=45°,∠BEC=40°,則∠D的度數(shù)為____.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC于點H,過點A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點M.則下列結(jié)論;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正確的序號是__________.
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【題目】如圖1所示,A、B兩點同時從原點O出發(fā),點A以每秒x個單位長度沿x軸的負(fù)方向運(yùn)動,點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運(yùn)動.
(1)若|x+2y-10|+|2x-y|=0,試分別求出1秒鐘后△AOB的面積;
(2)如圖2,所示,設(shè)∠BAO的鄰補(bǔ)角和∠ABO的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點P,問:點A、B在運(yùn)動的過程中,∠P的大小是否會發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請求出其值;若發(fā)生變化,請說明理由;
(3)如圖3所示,延長BA至E,在∠ABO的內(nèi)部作射線BF交x軸于點C,若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G,過點G作BE的垂線,垂足為H,設(shè)∠AGH=α,∠BGC=β,試探究出α和β滿足的數(shù)量關(guān)系并給出證明.
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【題目】已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點E為△ABC內(nèi)一點,連接AE,CE,CE⊥AE,過點B作BD⊥AE,交AE的延長線于D.
(1)如圖1,求證BD=AE;
(2)如圖2,點H為BC中點,分別連接EH,DH,求∠EDH的度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,點M為CH上的一點,連接EM,點F為EM的中點,連接FH,過點D作DG⊥FH,交FH的延長線于點G,若GH:FH=6:5,△FHM的面積為30,∠EHB=∠BHG,求線段EH的長.
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【題目】如圖,有一座拱橋是圓弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圓弧所在的圓的半徑r的長;
(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時,要采取緊急措施,若拱頂離水面只有4米,即PE=4米時,是否要采取緊急措施?
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