Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線(xiàn)，P是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)．

(1) 若CP=CD，求證：△DBP是等腰三角形；

(2) 在圖①中建立以△ABC的邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，BC邊上的高所在直線(xiàn)為y軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖②，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，AO=，在x軸上是否存在除點(diǎn)P以外的點(diǎn)Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）P1（--1，0），P2（0，0）P3（+1，0）

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可證明；（2）分三種情況討論：①若點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上，②若點(diǎn)P在x軸上，③若點(diǎn)P在x軸正半軸上，分別進(jìn)行求解即可.

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD是中線(xiàn)

∴∠DBC=30°

∵CP=CD

∴∠CPD=∠CDP

又∵∠ACB=60°

∴∠CPD=30°

∴∠CPD=∠DBC

∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．

(2) 解：在x軸上存在除點(diǎn)P以外的點(diǎn)Q，使△BDQ是等腰三角形

①若點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上，且BP=BD

∵BD=∴BP=

∴OP=+1

∴點(diǎn)P1（--1，0）

②若點(diǎn)P在x軸上，且BP=PD

∵∠PBD=∠PDB=30°

∴∠DPC=60°又∠PCD=60°

∴PC=DC=1

而OC=1

∴OP=0

∴點(diǎn)P2（0，0）

③若點(diǎn)P在x軸正半軸上，且BP=BD

∴BP=而OB=1

∴OP=+1

∴點(diǎn)P3（+1，0）