Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y軸的正半軸上，D是BC邊上的一點，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函數y＝（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D，交AB于點E，AE：BE＝1：2．

（1）求這個反比例函數的表達式；

（2）動點P在矩形OABC內，且滿足S△PAO＝S四邊形OABC．

①若點P在這個反比例函數的圖象上，求點P的坐標；

②若點Q是平面內一點使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（6，9）或（9﹣2 ，﹣1）．

【解析】

（1）設點B的坐標為（m，n），則點E的坐標為（m，n），點D的坐標為（m﹣6，n），利用反比例函數圖像上的點的坐標特征可求出m的值，之后進一步求出n的值，然后進一步求解即可；

（2）根據三角形的面積公式與矩形的面積公式結合S△PAO＝S四邊形OABC即可進一步求出P的縱坐標.①若點P在這個反比例函數的圖象上，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；②由點A，B的坐標及點P的總坐標可得出AP≠BP，進而可得出AB不能為對角線，設點P的坐標為（t，4），分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮：（i）當AB＝AP時，利用兩點間的距離公式可求出t值，進而可得出點P1的坐標，結合P1Q1的長可求出點Q1的坐標；（ii）當BP＝AB時，利用兩點間的距離公式可求出t值，進而可得出點P2的坐標，結合P2Q2的長可求出點Q2的坐標．

（1）設點B的坐標為（m，n），則點E的坐標為（m，n），點D的坐標為（m﹣6，n）．

∵點D，E在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上，

∴k＝mn＝（m﹣6）n，

∴m＝9．

∵OC：CD＝5：3，

∴n：（m﹣6）＝5：3，

∴n＝5，

∴k＝mn＝×9×5＝15，

∴反比例函數的表達式為y＝．

（2）∵S△PAO＝S四邊形OABC，

∴OAyP＝OAOC，

∴yP＝OC＝4．

當y＝4時，＝4，

解得：x＝，

∴若點P在這個反比例函數的圖象上，點P的坐標為（，4）．

②由（1）可知：點A的坐標為（9，0），點B的坐標為（9，5），

∵yP＝4，yA+yB＝5，

∴，

∴AP≠BP，

∴AB不能為對角線．

設點P的坐標為（t，4）．

分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮（如圖所示）：

（i）當AB＝AP時，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，

解得：t1＝6，t2＝12（舍去），

∴點P1的坐標為（6，4）．

又∵P1Q1＝AB＝5，

∴點Q1的坐標為（6，9）；

（ii）當BP＝AB時，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，

解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），

∴點P2的坐標為（9﹣2，4）．

又∵P2Q2＝AB＝5，

∴點Q2的坐標為（9﹣2，﹣1）．

綜上所述：點Q的坐標為（6，9）或（9﹣2，﹣1）．