Question

【題目】如圖，將水平放置的三角板ABC繞直角頂點A逆時針旋轉，得到△AB'C'，連結并延長BB'、C'C相交于點P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．

（1）若記B'C'中點為點D，連結PD，則PD＝_____；

（2）若記點P到直線AC'的距離為d，則d的最大值為_____．

Answer 1

【答案】2. 2+．

【解析】

（1）由旋轉的性質得出AC′＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，由等腰三角形的性質得出∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，得出∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，由三角形內角和定理和四邊形內角和定理得出∠BPC'＝90°，由直角三角形的性質即可得出PD＝B′C'＝2；

（2）連接AD，作DE⊥AC'于E，證明△ADC'是等邊三角形，得出AC'＝AD＝2，由等邊三角形的性質得出AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，當P、D、E三點共線時，點P到直線AC'的距離d最大＝PD+DE＝2+．

解：（1）由旋轉的性質得：AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，

∴∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，

∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，

∵∠B'AB+∠ABB'+∠AB'B＝180°，∠B'AB+∠BAC+∠ABB'+∠AC'C+∠BPC'＝360°，

∴∠BPC'＝90°，

∵D為B'C'中點，

∴PD＝B′C'＝2；

故答案為：2；

（2）連接AD，作DE⊥AC'于E，如圖所示：

∵AB'C'＝∠ABC＝30°，

∴∠AC'B′＝60°，

∵∠D為B'C'中點，

∴AD＝B′C'＝DC'，

∴△ADC'是等邊三角形，

∴AC'＝AD＝2，

∵DE⊥AC'，

∴AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，

當P、D、E三點共線時，點P到直線AC'的距離d最大＝PD+DE＝2+；

故答案為：2+．