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【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且交y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是線段BC上的點（不與B、C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MN的長；

（3）在（2）的條件下，連接NB，NC，是否存在點M，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，當m＝時，△BNC的面積最大，最大值為

【解析】

（1）直接利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長；

（3）根據題（1）（2）的結論，列出關于m的表達式，再利用函數的性質求解的最大值即可.

（1）拋物線經過點兩點，代入得：

，解得：

則拋物線的解析式為；

（2）由拋物線可知，

因此，設直線BC的解析式為：

代入得

解得：

則直線BC的解析式：

已知點M的橫坐標為m，且軸，則；

則

故MN的長為；

（3）存在點M，使的面積最大

如圖，過點M作軸于點D

則

即

由二次函數的性質可知：當時，隨m的增大而增大；當時，隨m的增大而減小

則當時，的面積最大，最大值為.

練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】成都市某景區(qū)經營一種新上市的紀念品，進價為20元/件，試營銷階段發(fā)現(xiàn)；當銷售單價是30元時，每天的銷售量為200件；銷售單價每上漲2元，每天的銷售量就減少10件.這種紀念品的銷售單價為x（元）.

（1）試確定日銷售量y（臺）與銷售單價為x（元）之間的函數關系式；

（2）若要求每天的銷售量不少于15件，且每件紀念品的利潤至少為30元，則當銷售單價定為多少時，該紀念品每天的銷售利潤最大，最大利潤為多少？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c是常數）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上．設拋物線與x軸的另一個交點為點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動點（不與點A、B重合），

①如圖2，若點P在直線AB上方，連接OP交AB于點D，求的最大值；

②如圖3，若點P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點E或F恰好落在y軸上，直接寫出對應的點P的坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某租賃公司擁有汽車100輛．據統(tǒng)計，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加1輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．

（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

（2）當每輛車的租金定為多少元時，租賃公司的月收益（租金收入扣除維護費）可達到306600元？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/秒的速度移動，同時點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/秒的速度移動，且當其中一點到達終點時，另一個點隨之停止移動．

（1）P，Q兩點出發(fā)幾秒后，可使△PBQ的面積為8cm2．

（2）設P，Q兩點同時出發(fā)移動的時間為t秒，△PBQ的面積為Scm2，請寫出S與t的函數關系式，并求出△PBQ面積的最大值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，將水平放置的三角板ABC繞直角頂點A逆時針旋轉，得到△AB'C'，連結并延長BB'、C'C相交于點P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．

（1）若記B'C'中點為點D，連結PD，則PD＝_____；

（2）若記點P到直線AC'的距離為d，則d的最大值為_____．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知菱形OABC的邊長為5，且tan∠AOC＝，點E是線段BC的中點，過點A、E的拋物線y＝ax2+bx+c與邊AB交于點D．

（1）求點A和點E的坐標；

（2）連結DE，將△BDE沿著DE翻折．

①當點B的對應點B'恰好落在線段AC上時，求點D的坐標；

②連接OB、BB'，請直接寫出此時該拋物線二次項系數a＝　 　．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑做圓，與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO交BO的廷長線于點D，且∠AOD=∠BAD．

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線與x 軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．

（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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