【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是AB上一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O切BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,且AD=BD.
(1)求證:DE∥AB;
(2)如圖2,連接OC,求cos∠ACO的值.

【答案】證明:(1)連結(jié)OD、OE,如圖1,

∵BC為切線,
∴OD⊥BC,
∵∠C=90°,
∴OD∥AC,
∴∠2=∠3,
∵OA=OD,
∴∠1=∠3,
∴∠1=∠2,
∵AD=BD,
∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2=∠B,
∵∠1+∠2+∠B=90°,
∴∠1=∠2=∠B=30°,
∴△OAE為等邊三角形,
∴AE=OE,
∴AE=OD,
∵AE∥OD,
∴四邊形AEDO為平行四邊形,
∴DE∥AB;
(2)解:作OH⊥AE于H,如圖2,

則AH=HE,
設(shè)⊙O的半徑為r,
在Rt△AOH中,∵∠OAH=60°,
∴AH=OA=r,OH=AH=r,
易得四邊形ODCH為矩形,
∴CH=OD=r,
在Rt△OCH中,OC=
∴cos∠HCO= ,
即cos∠ACO=,
【解析】(1)連結(jié)OD、OE,如圖1,根據(jù)切線性質(zhì)得OD⊥BC,則OD∥AC,所以∠2=∠3,加上∠1=∠3,則∠1=∠2,再利用AD=BD得到∠1=∠B,所以∠1=∠2=∠B,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠1=∠2=∠B=30°,于是可判斷△OAE為等邊三角形,得到AE=OE,再判斷四邊形AEDO為平行四邊形,從而得到DE∥AB;
(2)作OH⊥AE于H,如圖2,則AH=HE,設(shè)⊙O的半徑為r,在Rt△AOH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=AH=r,易得四邊形ODCH為矩形,則CH=OD=r,再利用勾股定理計(jì)算出OC=r,然后根據(jù)余弦的定義求解.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知△ABC,AB=AC,∠BAC=∠EPF=90°,點(diǎn)PBC的中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB,ACE、F,連接EF、AP.有下列結(jié)論①AE=CF ②EF=AP ③△EPF是等腰直角三角形,其中正確的有( )個(gè)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法后,老師給同學(xué)們這樣一道題目:計(jì)算:49×(﹣5),看誰(shuí)算的又快又對(duì),有兩位同學(xué)的解法如下:

小明:原式=﹣×5=﹣=﹣249

小軍:原式=(49+)×(﹣5)=49×(﹣5)+×(﹣5)=﹣249;

(1)對(duì)于以上兩種解法,你認(rèn)為誰(shuí)的解法較好?

(2)上面的解法對(duì)你有何啟發(fā),你認(rèn)為還有更好的方法嗎?如果有,請(qǐng)把它寫出來(lái);

(3)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算:19×(﹣8)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列說(shuō)法正確的有( 。

最大的負(fù)整數(shù)是﹣1;②|a|=a;③a+5一定比a大;④38萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為38×104;⑤單項(xiàng)式﹣ 的系數(shù)是﹣2,次數(shù)是3;⑥﹣<﹣;⑦長(zhǎng)方體的截面中,邊數(shù)最多的多邊形是七邊形.

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,EBC的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證:ABCF

(2)當(dāng)BCAF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形ABFC是矩形,并說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知下列方程,屬于一元一次方程的有( 。

①x﹣2=;②0.5x=1;③=8x﹣1;④x2﹣4x=8;⑤x=0;⑥x+2y=0.

A. 5個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB=4m,∠A=30°,則DE等于(  )

A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】張華想用一塊面積為400cm2的正方形紙片,沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,使它的長(zhǎng)寬之比為3:2.他不知能否裁得出來(lái),正在發(fā)愁.李明見(jiàn)了說(shuō):“別發(fā)愁,一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意李明的說(shuō)法嗎?張華能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,作ADAB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,作CEAC,且使AEBD,連結(jié)DE.

(1)求證:AD=CE.

(2)若DE=3,CE=4,求tanDAE的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案