Question

已知方程x²+bx+c=0與x²+cx+b=0各有兩個整數(shù)根x₁，x₂，和x₁′，x₂′，且x₁x₂＞0，x₁′x₂′＞0．
（1）求證：x₁＜0，x₂＜0，x₁′＜0，x₂′＜0；
（2）求證：b-1≤c≤b+1；
（3）求b，c的所有可能的值．

Answer 1

解：（1）由x₁x₂＞0知，x₁與x₂同號．
若x₁＞0，則x₂＞0，這時-b=x₁+x₂＞0，
所以b＜0，
此時與b=x₁′x₂′＞0矛盾，
所以x₁＜0，x₂＜0．
同理可證x₁′＜0，x₂′＜0．

（2）由（1）知，x₁＜0，x₂＜0，所以x₁≤-1，x₂≤-1．
由韋達定理c-（b-1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=（x₁+1）（x₂+1）≥0，
所以c≥b-1．
同理有b-（c-1）=x₁′x₂′+x₁′+x₂′+1=（x₁′+1）（x₂′+1）≥0
所以c≤b+1，
所以b-1≤c≤b+1．

（3）由（2）可知，b與c的關(guān)系有如下三種情況：
（i）c=b+1．由韋達定理知
x₁x₂=-（x₁+x₂）+1，
所以（x₁+1）（x₂+1）=2，
所以或
解得x₁+x₂=-5，x₁x₂=6，所以b=5，c=6．
（ii）c=b．由韋達定理知
x₁x₂=-（x₁+x₂），
所以（x₁+1）（x₂+1）=1，
所以x₁=x₂=-2，從而b=4，c=4．
（iii）c=b-1．由韋達定理知
-（x₁′+x₂′）=x₁′x₂′-1
所以（x₁′+1）（x₂′+1）=2，
解得x₁′+x₂′=-5，x₁′x₂′=6，
所以b=6，c=5．
綜上所述，共有三組解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．
分析：（1）分類討論，根據(jù)x₁x₂＞0，x₁′x₂′＞0知道x₁與x₂同號，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出矛盾，得到正確的結(jié)果；
（2）分別證明b-1≤c和c≤b+1，利用根與系數(shù)的關(guān)系和整數(shù)根；
（3）根據(jù)（2）中b-1≤c≤b+1，分別另c=b+1、b、b-1進行求解，從而得到所有正確的結(jié)果．
點評：本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根和根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是分類討論時要找到所有的情況．