(2012•北京)在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中點(diǎn),P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn),將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ.
(1)若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖1),線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并寫(xiě)出∠CDB的度數(shù);

(2)在圖2中,點(diǎn)P不與點(diǎn)B,M重合,線段CQ的延長(zhǎng)線于射線BM交于點(diǎn)D,猜想∠CDB的大。ㄓ煤恋拇鷶(shù)式表示),并加以證明;
(3)對(duì)于適當(dāng)大小的α,當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn)B,M重合)時(shí),能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D,且PQ=QD,請(qǐng)直接寫(xiě)出α的范圍.
分析:(1)利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出△CMQ是等邊三角形,即可得出答案;
(2)首先利用已知得出△APD≌△CPD,進(jìn)而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°,即可求出;
(3)由(2)得出∠CDB=90°-α,且PQ=QD,進(jìn)而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,得出α的取值范圍即可.
解答:解:(1)∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中點(diǎn),
∴BM⊥AC,AM=MC,
∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ是等邊三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°;

(2)如圖2,連接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中點(diǎn),
∴BM⊥AC,
即BD為AC的垂直平分線,
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,
在△APD與△CPD中,
AD=CD
PD=PD
PA=PC

∴△APD≌△CPD(SSS),
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠PCQ=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°,
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,
∴2∠CDB=180°-2α,
∴∠CDB=90°-α;

(3)如圖1,延長(zhǎng)BM,CQ交于點(diǎn)D,連接AD,
∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)B,M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∵點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng),∠PAD最大為2α,∠PAD最小等于α”,
∴2α>180°-2α>α,
∴45°<α<60°.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),得出∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°是解題關(guān)鍵.
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若|x1-x2|≥|y1-y2|,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1-x2|;
若|x1-x2|<|y1-y2|,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1-y2|.
例如:點(diǎn)P1(1,2),點(diǎn)P2(3,5),因?yàn)閨1-3|<|2-5|,所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值(點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q交點(diǎn)).
(1)已知點(diǎn)A(-
1
2
,0),B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);
②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值;
(2)已知C是直線y=
3
4
x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
①如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1),求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo);
②如圖3,E是以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E與點(diǎn)C的坐標(biāo).

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5.5
5.5
m.

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3或4
3或4
;當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n(n為正整數(shù))時(shí),m=
6n-3
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