Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于A（1，0），B（5，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點C（﹣3，0）在x軸下方作x軸的垂線，再以點A為圓心、5為半徑長畫弧，交先前所作垂線于D，連接AD（如圖），將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點D落在拋物線上時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當點D第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣6x+5；（2）m的值為5或7；（3）Q點的坐標為（4，﹣3）或（0，5）或（6，5）．

【解析】分析：（1）直接利用交點式可寫出拋物線的解析式；

（2）利用勾股定理計算出CD，則可確定D（-3，-3），過點D作x軸的平行線交拋物線于點E、F，如圖，解方程x2-6x+5=-3得到E（2，-3），F(xiàn)（4，-3），然后確定Rt△ACD沿x軸向左平移的距離，從而得到m的值；

（3）拋物線的對稱軸為直線x=3，則P點的橫坐標為3，E（2，-3），B（5，0），討論：若四邊形EBQP為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)和點平移的規(guī)律得到點Q的橫坐標為6，則計算x=6對應的函數(shù)值得到此時Q點坐標；若四邊形EBP′Q′為平行四邊形或四邊形EP″BQ″為平行四邊形時，利用同樣的方法可求出對應的Q點坐標．

詳解：（1）拋物線的解析式為y=（x﹣1）（x﹣5），

即y=x2﹣6x+5；

（2）∵AD=5，AC=1+3=4，

∴CD==3，

∴D（﹣3，﹣3），

過點D作x軸的平行線交拋物線于點E、F，如圖，

當y=﹣3時，x2﹣6x+5=﹣3，解得x1=2，x2=4，則E（2，﹣3），F(xiàn)（4，﹣3），

∴ED=2﹣（﹣3）=5，F(xiàn)D=4﹣（3）=7，

∴m的值為5或7；

（3）拋物線的對稱軸為直線x=3，則P點的橫坐標為3，E（2，﹣3），B（5，0），

若四邊形EBQP為平行四邊形，點E向右平移3個單位，向上平移3個單位得到B點，則點P向右平移3個單位，向上平移3個單位得到Q點，所以點Q的橫坐標為6，當x=6時，y=x2﹣6x+5=5，此時Q（6，5）；

若四邊形EBP′Q′為平行四邊形，點B向左平移3個單位，向下平移3個單位得到E點，則點P′向左平移3個單位，向下平移3個單位得到Q′點，所以點Q的橫坐標為0，當x=0時，y=x2﹣6x+5=5，此時Q′（0，5）；

若四邊形EP″BQ″為平行四邊形，點P″向左平移1個單位可得到E點，則點B向左平移1個單位可得到Q″點，所以點Q的橫坐標為4，當x=4時，y=x2﹣6x+5=﹣3，此時Q′（4，﹣3），

綜上所述，Q點的坐標為（4，﹣3）或（0，5）或（6，5）．