【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(-2,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當點P運動到什么位置時,△PAB的面積有最大值?
(3)過點P作x軸的垂線,交線段AB于點D,再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E,連結(jié)DE,請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y x2 2x 6;(2)P(3, );(3)P(4,6)或P(5-,3-5).
【解析】
(1)待定系數(shù)法求解可得;
(2)作PM⊥OB與點M,交AB于點N,作AG⊥PM,先求出直線AB解析式為y=-x+6,設(shè)P(t,-t2+2t+6),則N(t,-t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PNAG+PNBM=PNOB列出關(guān)于t的函數(shù)表達式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得;
(3)若△PDE為等腰直角三角形,則PD=PE,設(shè)點P的橫坐標為a,表示出PD、PE的長,列出關(guān)于a的方程,解之可得答案.
(1)∵拋物線過點B(6,0)、C(-2,0),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-6)(x+2),
將點A(0,6)代入,得:-12a=6,
解得:a=-,
所以拋物線解析式為y=-(x-6)(x+2)=-x2+2x+6;
(2)如圖1,過點P作PM⊥OB與點M,交AB于點N,作AG⊥PM于點G,
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,
將點A(0,6)、B(6,0)代入,得:
,
解得:,
則直線AB解析式為y=-x+6,
設(shè)P(t,-t2+2t+6)其中0<t<6,
則N(t,-t+6),
∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-(-t+6)=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t,
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PNAG+PNBM
=PN(AG+BM)
=PNOB
=×(-t2+3t)×6
=-t2+9t
=-(t-3)2+,
∴當t=3時,P位于(3,)時,△PAB的面積有最大值;
(3)如圖2,
若△PDE為等腰直角三角形,
則PD=PE,
設(shè)點P的橫坐標為a,點E的橫坐標為b,
∴PD=-a2+2a+6-(-a+6)=-a2+3a,,
則b=4-a,
∴PE=|a-(4-a)|=|2a-4|=2|2-a|,
∴-a2+3a=2|2-a|,
解得:a=4或a=5-,
所以P(4,6)或P(5-,3-5).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(操作發(fā)現(xiàn))
(1)如圖1,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,連接BD,則∠ABD的度數(shù)是______.
(類比探究)
(2)如圖2,在等腰直角三角形ABC內(nèi)取一點P,使∠APB=135°,將△ABP繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP',連接PP'.請猜想BP與CP'有怎樣的位置關(guān)系,并說明理由.
(解決問題)
(3)如圖3,在等腰直角三角形ABC內(nèi)任取一點P,連接PA、PB、PC.求證:PC+PA>PB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:長寬比為:1(n為正整數(shù))的矩形稱為矩形.
下面,我們通過折疊的方式折出一個矩形,如圖a所示.
操作1:將正方形ABEF沿過點A的直線折疊,使折疊后的點B落在對角線AE上的點G處,折痕為AH.
操作2:將FE沿過點G的直線折疊,使點F、點E分別落在邊AF,BE上,折痕為CD.則四邊形ABCD為矩形.
(1)證明:四邊形ABCD為矩形;
(2)點M是邊AB上一動點.
①如圖b,O是對角線AC的中點,若點N在邊BC上,OM⊥ON,連接MN.求tan∠OMN的值;
②若AM=AD,點N在邊BC上,當△DMN的周長最小時,求的值;
③連接CM,作BR⊥CM,垂足為R.若AB=2,則DR的最小值= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,AB是直徑,AD是弦,∠ADE = 60°,∠C = 30°.
⑴判斷直線CD是否是⊙O的切線,并說明理由;
⑵若CD = ,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校決定加強羽毛球、籃球、乒乓球、排球、足球五項球類運動,每位同學(xué)必須且只能選擇一項球類運動,對該校學(xué)生隨機抽取進行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖:
運動項目 | 頻數(shù)人數(shù) |
羽毛球 | 30 |
籃球 | a |
乒乓球 | 36 |
排球 | b |
足球 | 12 |
請根據(jù)以上圖表信息解答下列問題:
頻數(shù)分布表中的______,______;
在扇形統(tǒng)計圖中,“排球”所在的扇形的圓心角為______度;
全校有多少名學(xué)生選擇參加乒乓球運動?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合,使三角尺的60°角的頂點與點A重合,兩邊分別與AB,AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn).
(1)當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD相交于點E,F時,(如圖1),通過觀察或測量BE,CF的長度,你能得出什么結(jié)論并證明你的結(jié)論;
(2)當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD的延長線相交于點E,F時(如圖2),你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎?簡要說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解八年級學(xué)生雙休日的課外閱讀情況,學(xué)校隨機調(diào)查了該年級25名學(xué)生,得到了一組樣本數(shù)據(jù),其統(tǒng)計表如下:
八年級25名學(xué)生雙休日課外閱讀時間統(tǒng)計表
閱讀時間 | 1小時 | 2小時 | 3小時 | 4小時 | 5小時 | 6小時 |
人數(shù) | 3 | 4 | 6 | 3 | 2 |
(1)請求出閱讀時間為4小時的人數(shù)所占百分比;
(2)試確定這個樣本的眾數(shù)和平均數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠準備購買A、B兩種零件,已知A種零件的單價比B種零件的單價多30元,而用900元購買A種零件的數(shù)量和用600元購買B種零件的數(shù)量相等.
(1)求A、B兩種零件的單價;
(2)根據(jù)需要,工廠準備購買A、B兩種零件共200件,工廠購買兩種零件的總費用不超過14700元,求工廠最多購買A種零件多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去太陽島春游,大部分同學(xué)乘坐大客車先出發(fā),余下的同學(xué)乘坐小轎車20分鐘后出發(fā),沿同一路線行駛.大客車中途停車等候5分鐘,小轎車趕上來之后,大客車以原速度的繼續(xù)行駛,小轎車保持速度不變.兩車距學(xué)校的路程S(單位:km)和大客車行駛的時間t(單位:min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法中正確的個數(shù)是( )
①學(xué)校到景點的路程為40km;
②小轎車的速度是1km/min;
③a=15;
④當小轎車駛到景點入口時,大客車還需要10分鐘才能到達景點入口.
A.1個B.2個C.3個D.4個
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