【題目】已知菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,點(diǎn)MBC邊上,過(guò)點(diǎn)MPMAB交對(duì)角線BD于點(diǎn)P,連接PC

1)如圖1,當(dāng)BM=1時(shí),求PC的長(zhǎng);

2)如圖2,設(shè)AMBD交于點(diǎn)E,當(dāng)∠PCM=45°時(shí),求證:=;

3)如圖3,取PC的中點(diǎn)Q,連接MQ,AQ

①請(qǐng)?zhí)骄?/span>AQMQ之間的數(shù)量關(guān)系,并寫出探究過(guò)程;

②△AMQ的面積有最小值嗎?如果有,請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1;(2)見(jiàn)解析;(3)①AQ=MQ,見(jiàn)解析,②有,

【解析】

1)過(guò)點(diǎn)PPFBC于點(diǎn)F,首先利用菱形的性質(zhì)得出∠ABD=CBD=30°,AB=BC=CD=AD=4,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABD=BPM=CBD=30°,∠PMF =ABC=60°,進(jìn)而可求出PM,PF,MF的長(zhǎng)度,從而FC的長(zhǎng)度可求,最后利用勾股定理即可求PC的長(zhǎng)度;

2)過(guò)點(diǎn)PPGBC于點(diǎn)G,設(shè)MG=x,由(1)可知:BM=PM=2xGC=PG=x,然后利用BM+MG+GC=BC求出x的值,進(jìn)而可求出BM的長(zhǎng)度,最后利用平行線分線段成比例即可得出結(jié)論;

3)①延長(zhǎng)MQCD交于點(diǎn)H,連接AH,AC,首先證明△PMQ≌△CHQ,則有PM=CH=BM,MQ=HQ,然后利用菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明 ABM≌△ACH,則有AM=AH,∠BAM=CAH,則△AMH為等邊三角形,則利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出AQ,MQ之間的關(guān)系;

②根據(jù)①中的結(jié)論有,當(dāng)AM取最小值時(shí),MQ有最小值,當(dāng)時(shí),AM最小,求出此時(shí)的AM,MQ的值,最后利用求解即可.

解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)PPFBC于點(diǎn)F

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,

∴∠ABD=CBD=30°,AB=BC=CD=AD=4

PMAB

∴∠ABD=BPM=CBD=30°,∠PMF =ABC=60°

PM=BM=1,

MF=PM=,PF= ,

FC=BC-BM-MF=4-1-=

PC==

2)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)PPGBC于點(diǎn)G

∵∠PCM=45°,

∴∠CPG=PCM=45°

PG=GC

設(shè)MG=x,由(1)可知:BM=PM=2xGC=PG=x,

BM+MG+GC=BC得:2x+x+x=4

x=,

BM=

∵四邊形ABCD是菱形,

BMAD

3)①如圖,延長(zhǎng)MQCD交于點(diǎn)H,連接AH,AC

PMABCD,

∴∠PMQ=CHQ,∠MPQ=HCQ

QPC的中點(diǎn),

PQ=CQ

∴△PMQ≌△CHQ,

PM=CH=BM,MQ=HQ

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,

∴△ABC為等邊三角形,

AB=AC,∠ABM=ACH=60°,

∴△ABM≌△ACH,

AM=AH,∠BAM=CAH

∴∠MAH=BAC=60°,

∴△AMH為等邊三角形,

AQMH,∠MAQ=MAH=30°,

AQ=MQ

②∵AQMH,∠MAQ=MAH=30°,

∴當(dāng)AM取最小值時(shí),MQ有最小值.

當(dāng)時(shí),AM最小,此時(shí)

MQ的最小值為,

此時(shí)

∴△AMQ的面積有最小值,最小值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】定義:將函數(shù)l的圖象繞點(diǎn)Pm,0)旋轉(zhuǎn)180°,得到新的函數(shù)l'的圖象,我們稱函數(shù)l'是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù).

例如:當(dāng)m1時(shí),函數(shù)y=(x+12+5關(guān)于點(diǎn)P1,0)的相關(guān)函數(shù)為y=﹣(x325

1)當(dāng)m0時(shí)

一次函數(shù)yx1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為 ;

點(diǎn)(,﹣)在二次函數(shù)y=﹣ax2ax+1a0)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上,求a的值.

2)函數(shù)y=(x12+2關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)y=﹣(x+322,則m   ;

3)當(dāng)m1xm+2時(shí),函數(shù)yx2mxm2關(guān)于點(diǎn)Pm,0)的相關(guān)函數(shù)的最大值為6,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在邊長(zhǎng)都是1的小正方形組成的網(wǎng)格中,均為格點(diǎn),線段,相交于點(diǎn).

(1)________;

(2)設(shè),將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,請(qǐng)你借助網(wǎng)格,使用無(wú)刻度的直尺畫出點(diǎn),并簡(jiǎn)要說(shuō)明你是怎么畫的___________.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】《九章算術(shù)》里有一道著名算題:“今有上禾三秉,益實(shí)六斗,當(dāng)下禾十秉.下禾五秉,益實(shí)一斗,當(dāng)上禾二乘、問(wèn)上、下禾實(shí)一乘各幾何?”大意是:3捆上等谷子結(jié)出的糧食,再加.上六斗,相當(dāng)于10捆下等谷子結(jié)出的糧食.5捆下等谷子結(jié)出的糧食,再加上一斗,相當(dāng)于2捆上等谷子結(jié)出的糧食.問(wèn):上等谷子和下等谷子每捆能結(jié)出多少斗糧食?請(qǐng)解答上述問(wèn)題.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】等腰三角形的屋頂,是建筑中經(jīng)常采用的結(jié)構(gòu)形式.在如圖所示的等腰三角形屋頂ABC中,AB=AC,測(cè)得BC=20米,∠C=41°,求頂點(diǎn)ABC邊的距離是多少米?(結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):sin41°0.656,cos41°0.755,tan41°0.869.)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形的邊在正方形的邊上,連結(jié)、

1)觀察猜想之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2)圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形?若存在,說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、AD、CD上,EGBF交于點(diǎn)I,AE=2,BF=EG,DG>AE,則DI的最小值為________.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時(shí)出發(fā),設(shè)慢車行駛的時(shí)間為兩車之間的距離為,圖中的折線表示之間的函數(shù)關(guān)系,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

A.甲乙兩地相距B.點(diǎn)表示此時(shí)兩車相遇

C.慢車的速度為D.折線表示慢車先加速后減速最后到達(dá)甲地

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△BEF,其中點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在BD上.BF,EF分別交邊AD于點(diǎn)G,H.若GH4HD,則cosDBC的值為_____

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案