Question

【題目】如圖，已知 是 的直徑，過點(diǎn) 作弦 的平行線，交過點(diǎn) 的切線 于點(diǎn) ，連結(jié) ．

（1）求證： ；
（2）若 ， ，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠B，
∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙ O 的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA

（2）解：∵ ，

∴ ，

∴ ,

∴OA=2,AB=4

∴ ，

∴ ,

【解析】（1）根據(jù)已知BC∥OP，得出∠AOP=∠B，再根據(jù)AB是直徑，PA是⊙ O 的切線，得出∠C=∠OAP，根據(jù)兩組對應(yīng)角相等的兩三角形相似，即可證得結(jié)論。
（2）根據(jù)OB的長，就可求出AB的長，再根據(jù)△ABC∽△POA ，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長。
【考點(diǎn)精析】利用圓周角定理和切線的性質(zhì)定理對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．