Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．點(diǎn)D是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CD．過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G，連結(jié)DF，給出以下四個(gè)結(jié)論：① = ；②若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AF= AB；③當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF=DB；④若 = ，則S△ABC=9S△BDF ， 其中正確的結(jié)論序號(hào)是（ ）

A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：依題意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，
∴ ，
又AB=BC，∴ ．
故結(jié)論①正確；
如右圖，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG與△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，
∴AG=AD；
在△AFG與△AFD中， ，
∴△AFG≌△AFD（SAS）
∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC= AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD= AB= BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ = ，∴FC=2AF，
∴AF= AC= AB．
故結(jié)論②正確；
當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，
∴∠2=∠ACB
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠2=45°，
∴∠CFD=∠AFD=90°，
∴CD是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，
∵BG⊥CD，
∴ ，
∴DF=DB，故③正確；
∵ ，∵AG=BD， ，
∴ ，∴ = ，∴AF= AC，∴S△ABF= S△ABC；∴S△BDF= S△ABF ，
∴S△BDF= S△ABC ， 即S△ABC=12S△BDF ．
故結(jié)論④錯(cuò)誤．
故選C．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的解直角三角形，需要了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能得出正確答案．