在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=
4
9
x2+
2
9
mx+
5
9
m+
4
3
與x軸交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且BO=2AO，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式和經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上，且⊙P與x軸、直線BC都相切．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，0），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，0），其中a＞0．
由題意得一元二次方程0=
4
9
x2+
2
9
mx+
5
9
m+
4
3
，
那么
-a+2a=
-
2
9
m
-
4
9
-a•2a=
5
9
m+
4
3
-
4
9
?2m2-5m-12=0，
解得m=-
3
2
（不合題意舍去），
m=4，則a=2，
∴此拋物線的解析式為y=
4
9
(x-1)2-4，
B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）、C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4），
∴經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線的解析式為y-0=
-4-0
1-4
(x-4)，
即y=
4
3
x-
16
3
；

（2）∵點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上，故設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k），
設(shè)⊙P與x軸、直線BC分別相切于點(diǎn)N、M，連接PB、PM，
在△PBC中，BC=
NB2+NC2
=
32+42
=5，
S△PBC=
1
2
PC•NB=
1
2
BC•PM，
即PM=
[k-(-4)]•3
5
，
∵PM、NP均為圓P的半徑，
∴|k|=
(k+4)•3
5
，
解得k=6（不合題意舍去），k=-
3
2
，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，-
3
2
)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，-
5
2
）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（12，0），以AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D是拋物線與⊙P的第四個(gè)交點(diǎn)（除A、B、C三點(diǎn)以外），求直線MD的解析式；
（3）判定（2）中的直線MD與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，AB⊥BC，且點(diǎn)C在x軸上，若拋物線y=ax2+bx+c以C為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)B，則這條拋物線的關(guān)系式為______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，拋物線y=x2-2x與直線y=3相交于點(diǎn)A、B，P是x軸上一點(diǎn)，若PA+PB最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）
A．（-l，0）B．（0，0）C．（1，0）D．（3，0）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（A）拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=0和x=2時(shí)，y的值相等．直線y=3x-7與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段BM上一點(diǎn)，過點(diǎn)P向x軸引垂線，垂足為Q．若點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合），設(shè)OQ的長(zhǎng)為t，四邊形PQOC的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．
（3）對(duì)于二次三項(xiàng)式x2-10x+36，小明同學(xué)作出如下結(jié)論：無論x取什么實(shí)數(shù)，它的值都不可能等于11．你是否同意他的說法？說明你的理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，拋物線y=x2的頂點(diǎn)為P，A、B是拋物線上兩點(diǎn)，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經(jīng)過點(diǎn)P，AB=2AD．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）如圖2，若將拋物線“y=x2”，改為拋物線“y=x2+bx+c”，其他條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積；
（3）若將拋物線“y=x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”，其他條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積．（用a、b、c表示，并直接寫出答案）
附加題：若將題中“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”，“AB=2AD”條件不要，其他條件不變，探索矩形ABCD面積為常數(shù)時(shí)，矩形ABCD需要滿足什么條件并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1所示，已知二次函數(shù)y=ax2-6ax+c與x軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-8t）（t＞0）．
（1）求a、c的值及拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)t的值；
（3）如圖2，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，-4）、（4，-3），邊HG位于邊EF的右側(cè)．若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)（不與E、F、G重合），請(qǐng)你說明以PA、PB、PC、PD的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)不能構(gòu)成平行四邊形；
（4）將（3）中的正方形EFGH水平移動(dòng)，若點(diǎn)P是正方形邊FG或EH上任意一點(diǎn)，在水平移動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使以PA、PB、PC、PD的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)構(gòu)成平行四邊形，其中PA、PB為對(duì)邊．若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)．市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為每上漲1元時(shí)，其銷售量就將減少10個(gè)．商場(chǎng)要想銷售利潤(rùn)平均每月達(dá)到最大，每個(gè)臺(tái)燈的定價(jià)應(yīng)為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？月銷售利潤(rùn)最大為多少元？

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