Question

【題目】有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．

（1）試探究線段BD與線段MF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

（2）把△BCD與△MEF剪去，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1，邊AD1交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，求β的度數(shù)．

（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如圖3），F2M2與AD交于點(diǎn)P，A2M2與BD交于點(diǎn)N，當(dāng)NP∥AB時(shí)，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF；（2）β的度數(shù)為60°或15°；（3）平移的距離是（3﹣）cm．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進(jìn)而可得∠DNM的大小．

（2）分兩種情形討論①當(dāng)AK=FK時(shí)，②當(dāng)AF=FK時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論．

（3）求平移的距離是A2A的長(zhǎng)度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的長(zhǎng)度就行．用△DPN∽△DAB得出對(duì)應(yīng)線段成比例，即可得到A2A的大�。�

（1）結(jié)論：BD=MF，BD⊥MF．理由：

如圖1，延長(zhǎng)FM交BD于點(diǎn)N．

由題意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．

又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．

（2）如圖2．

①當(dāng)AK=FK時(shí)，∠KAF=∠F=30°，則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；

②當(dāng)AF=FK時(shí)，∠FAK（180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；

綜上所述：β的度數(shù)為60°或15°；

（3）如圖3．

由題意得矩形PNA2A．設(shè)A2A=x，則PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2，∴AF2=2x．

∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2tan30°=2x，∴PD=AD﹣AP=22x．

∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．

∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴，∴，解得：x=，即A2A=，∴平移的距離是（）cm．