Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向，在射線BC上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在射線BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．

（1）當(dāng)∠BAM＝　 　°時(shí)，AB＝2BM；

（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋�(gè)條件：　 　，使得△ABC為等邊三角形；

①如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：CN+CM＝AC；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段BC之外（即點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)），其它條件不變（△ABC仍為等邊三角形），請(qǐng)寫出此時(shí)線段CN、CM、AC滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）AB＝AC；①證明見解析；②CN-CM=AC，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）利用含一個(gè)60°角的等腰三角形是等邊三角形的判定解答；①利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△BAM≌△CAN，從而利用全等三角形的性質(zhì)求解；②利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△BAM≌△CAN，從而利用全等三角形的性質(zhì)求解．

解：（1）當(dāng)∠BAM＝30°時(shí)，

∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴AB＝2BM；

故答案為：30；

（2）∵在△ABC中，∠B=60°

∴當(dāng)AB=AC時(shí)，可得可得△ABC為等邊三角形；

故答案為：AB＝AC；

①如圖1中，

∵△ABC與△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC=BC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，

即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM與△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM＝CN；

∴AC=BC=BM+CM=CM+CN

即CN+CM＝AC；

②CN-CM=AC，

理由：如圖2中，

∵△ABC與△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，

即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM與△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM＝CN

∴AC=BC=BM-CM=CN-CM

即CN-CM=AC