【題目】如圖①,△ABC與△CDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),連接AE、BD.

(1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,請直接寫出結(jié)論;

(2)現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖②,AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H.請判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;

(3)若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如圖③,寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】(1PM=PN,PM⊥PN,理由見解析;(2)理由見解析;(3PM=kPN;理由見解析

【解析】試題分析:(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD,由此可得AE=BD,再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN,由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN;(2)(1)中的結(jié)論仍舊成立,由(1)中的證明思路即可證明;(3PM=kPN,由已知條件可證明△BCD∽△ACE,所以可得BD=kAE,因為點(diǎn)P、MN分別為AD、AB、DE的中點(diǎn),所以PM=BD,PN=AE,進(jìn)而可證明PM=kPN

試題解析:(1PM=PNPM⊥PN,理由如下:

∵△ACB△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BCEC=CD,∠ACB=∠ECD=90°

△ACE△BCD, ∴△ACE≌△BCDSAS), ∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,

點(diǎn)M、N分別是斜邊ABDE的中點(diǎn),點(diǎn)PAD的中點(diǎn), ∴PM=BDPN=AE,

∴PM=PM, ∵∠NPD=∠EAC∠MPN=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°

∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN;

2∵△ACB△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BCEC=CD,∠ACB=∠ECD=90°

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE∴∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠CAE=∠CBD

∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°

點(diǎn)PM、N分別為AD、ABDE的中點(diǎn), ∴PM=BD,PM∥BD; PN=AEPN∥AE

∴PM=PN∴∠MGE+∠BHA=180°∴∠MGE=90°∴∠MPN=90°∴PM⊥PN

3PM=kPN

∵△ACB△ECD是直角三角形, ∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE

∴∠ACE=∠BCD∵BC=kAC,CD=kCE=k∴△BCD∽△ACE∴BD=kAE

點(diǎn)P、M、N分別為ADAB、DE的中點(diǎn), ∴PM=BDPN=AE∴PM=kPN

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(2)在投入成本最低的情況下,增種果樹多少棵時,果園可以收獲果實6750千克?

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