如圖,PA是⊙O的割線,且經過圓心O,與⊙O交于B、A兩點,PD切⊙O于點D,AC是⊙O的一條弦,連結PC,且PC=PD.
(1)求證:PC是⊙O的切線;        
(2)若AC=PD,連結BC.求證:AB=2BC.
分析:(1)如圖,連接OC、OD.同全等三角形的判定定理證得SSS推知Rt△OCP≌Rt△ODP,則∠OCP=∠ODP=90°,即OC⊥PC,所以PC是⊙O的切線;        
(2)通過全等三角形(△AOC≌△PBC)的對應邊相等知BC=OC,所以易證AB=2BC.
解答:(1)證明:如圖,連接OC、OD.
∵PD切⊙O于點D,
∴∠ODP=90°.
∵在△OCP與△ODP中,
OC=OD
OP=OP
PC=PD

∴△OCP≌△ODP,
∴∠OCP=∠ODP=90°,即OC⊥PC,
又OC是半徑,
∴PC是⊙O的切線;   
     
(2)如圖,連接BC.
∵PC、PD是⊙O的兩條切線,
∴PC=PD.
又∵AC=PD,
∴AC=PC.
∴∠1=∠4.
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°.
又由(1)知,∠OCP=90°,
∴∠2=∠3,
∴在△AOC與△PBC中,
∠1=∠4
AC=PC
∠2=∠3
,
∴△AOC≌△PBC(ASA),
∴BC=OC,
∴OA=OB=BC
∴AB=OA+OB=2BC.
點評:本題考查了切線的判定與性質,全等三角形的判定與性質.切線的判定定理:經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
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