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【題目】已知,如圖,拋物線y=﹣x2+ax+b與x軸從左至右交于A、B兩點,與y軸正半軸交于點C.設∠OCB=α,∠OCA=β,且tanα﹣tanβ=2,OC2=OAOB.

(1)△ABC是否為直角三角形?若是,請給出證明;若不是,請說明理由;

(2)求拋物線的解析式;

(3)若拋物線的頂點為P,求四邊形ABPC的面積.

【答案】(1)△ABC是直角三角形,理由見解析;(2)拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+1;(3)四邊形ABPC的面積為

【解析】試題分析:(1)利用已知得出Rt△BOC∽Rt△COA,進而得出∠OCA+∠OCB=90°,即可得出答案;

(2)由題意可得,方程﹣x2+ax+b=0有兩個不同的實數根,進而得出C點坐標,可得出b的值,再利用tanα=,tanβ=,由tanα﹣tanβ=2,得出a的值進而得出答案;

(3)作PF⊥x軸于點F,根據S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC,進而得出答案.

試題解析:(1)△ABC是直角三角形.

理由如下:

∵OC2=OAOB,∴=,

又∵∠BOC=∠COA=90°,∴Rt△BOC∽Rt△COA,∴∠OCB=∠OAC,

又∵∠OCA+∠OAC=90°,∴∠OCA+∠OCB=90°,

即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形;

(2)∵拋物線與x軸交于A、B兩點,

∴方程﹣x2+ax+b=0有兩個不同的實數根,

設這兩個根分別為x1、x2,且x1<x2,顯然,x1<0,x2>0,

得A、B兩點的坐標分別為A(x1,0)、B(x2,0),

由根與系數的關系,有x1+x2=a,x1x2=﹣b,

對于拋物線y=﹣x2+ax+b,當x=0時,y=b,∴C點的坐標為C(0,b);

由已知條件OC2=OAOB,得b2=(﹣x1)x2,即b2=﹣x1x2,∴b2=b,

∵點C在y軸的正半軸上,∴b>0,從而得b=1,

∵tanα=,tanβ=,由tanα﹣tanβ=2,得=2,即OB﹣OA=2OC,

得x2﹣(﹣x1)=2b,x2+x1=2b,即a=2b,∴a=2,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+1;

(3)由拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+1,配方得:y=﹣(x﹣1)2+2,

∴其頂點P的坐標為P(1,2).

解方程﹣x2+2x+1=0,得x1=1﹣,x2=1+,∴A(1﹣,0),B(1+,0),

解法一:設過P、C兩點的直線與x軸交于點D,

直線的解析式為:y=kx+1,把P(1,2)坐標代入,得k=1,

∴直線PC:y=x+1,當y=0時,x=﹣1,即點D的坐標為D(﹣1,0).

∵﹣1<1﹣,∴點D在點A的左邊,

作PF⊥x軸于點F,

∴S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC

= [(1+)+1]×2﹣ [(1﹣)+1]×1

=,

即四邊形ABPC的面積為

解法二:過點P作PF⊥x軸于點F,

則∴S四邊形ABPC=S△OAC+S梯形COFP+S△PFB

=OAOC+(OC+PF)OF+FBPF

=﹣1)×1+(1+2)×1+(1+﹣1)×2

=;

即四邊形ABPC的面積為

練習冊系列答案
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