Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC．則下列結(jié)論：
①abc＜0；② ＞0；③ac﹣b+1=0；④OAOB=﹣ ．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b2﹣4ac＞0，
而a＜0，
∴ ＜0，所以②錯(cuò)誤；
∵C（0，c），OA=OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b+1=0，所以③正確；
設(shè)A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，
∴x1x2= ，
∴OAOB=﹣ ，所以④正確．
故選：B．
由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可得c＞0，則可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，則可對②進(jìn)行判斷；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，兩邊除以c則可對③進(jìn)行判斷；設(shè)A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），則OA=﹣x1 ， OB=x2 ， 根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1x2= ，于是OAOB=﹣ ，則可對④進(jìn)行判斷．