【題目】如圖,四邊形ABCD中,A=ABC=90°,AD=10cm,BC=30cm,E是邊CD的中點,連接BE并延長與AD的延長線相交于點F.

(1)求證:四邊形BDFC是平行四邊形;

(2)若BCD是等腰三角形,求四邊形BDFC的面積.

【答案】(1)證明見解析;(2)cm2cm2

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行求出BCAD,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得CBE=DFE,然后利用“角角邊”證明BEC和FCD全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=EF,然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可;

(2)分三種情況:①BC=BD時,由勾股定理列式求出AB,由平行四邊形的面積公式列式計算即可得解;

②BC=CD時,過點C作CGAF于G,證出四邊形AGCB是矩形,由矩形的對邊相等得AG=BC=3,求出DG=2,由勾股定理列式求出CG,由平行四邊形的面積列式計算即可;

③BD=CD時,BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直,從而得到BC=2AD=2,矛盾.

試題解析:(1)證明:∵∠A=ABC=90°,BCAD,∴∠CBE=DFE,在BEC與FED中,∵∠CBE=DFE,BEC=FED,CE=DE∴△BEC≌△FED(AAS),BE=FE,又E是邊CD的中點,CE=DE,四邊形BDFC是平行四邊形;

(2)解:分三種情況:①BC=BD=30cm時,由勾股定理得,AB===(cm),四邊形BDFC的面積==(cm2);

②BC=CD=30時,過點C作CGAF于G,如圖所示:

則四邊形AGCB是矩形,AG=BC=30,DG=AG﹣AD=30﹣10=20,由勾股定理得,CG===,四邊形BDFC的面積==;

③BD=CD時,BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直,從而得到BC=2AD=20,矛盾,此時不成立;

綜上所述,四邊形BDFC的面積是cm2cm2

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