Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，連接BD．現(xiàn)將一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在BD所在的直線(xiàn)上，一條直角邊過(guò)點(diǎn)C，另一條直角邊與AB所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)G．

（1）是否存在這樣的點(diǎn)P，使點(diǎn)P、C、G為頂點(diǎn)的三角形與△GCB全等？若存在，畫(huà)出圖形，并直接在圖形下方寫(xiě)出BG的長(zhǎng)．（如果你有多種情況，請(qǐng)用①、②、③、…表示，每種情況用一個(gè)圖形單獨(dú)表示，如果圖形不夠用，請(qǐng)自己畫(huà)圖）

（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，以P為圓心、PB為半徑作圓分別交BA、BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F，連EF，分別過(guò)點(diǎn)G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N為垂足．試探究PM與FN的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）BG=3；見(jiàn)解析（2）PM=FN．

【解析】

試題分析：（1）只需分點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上（如圖①）、在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖②）、在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖③）三種情況討論，即可解決問(wèn)題；

（2）如圖2，由（1）可知，此時(shí)BG=PG=，BC=PC=4．易證△PGM∽△CPN，從而可得PM=CN；易證△FNC∽△BCD，從而可得FN=CN，即可得到PM=FN．

解：（1）存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P、C、G為頂點(diǎn)的三角形與△GCB全等．

①若點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上，如圖①．

當(dāng)BG=PC時(shí)，根據(jù)HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時(shí)∠GCB=∠CGP，

∴PG∥BC，

∴∠GPC+∠PCB=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠PCB=90°，

∴點(diǎn)P在點(diǎn)D處，

∴BG=PC=DC=AB=3；

②若點(diǎn)G在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖②．

當(dāng)BG=PC時(shí)，根據(jù)HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時(shí)BC=PG，∠GCB=∠CGP，

∴OG=OC，OB=OP，

∴∠PBO=∠BPO=（180°﹣∠BOP），

∠OCG=∠OGC=（180°﹣∠GOC）．

∵∠BOP=∠GOC，

∴∠PBO=∠OCG，

∴BD∥CG．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，即BG∥DC，

∴四邊形BGCD是平行四邊形，

∴BG=CD=3；

③若點(diǎn)G在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖③．

當(dāng)PC=BC時(shí)，根據(jù)HL可得Rt△GBC≌Rt△GPC，

此時(shí)BG=PG，

∴點(diǎn)G、C在BP的垂直平分線(xiàn)上，

∴GC垂直平分BP，

∴∠BGC+∠GBD=90°．

∵∠CBD+∠GBD=90°，

∴∠BGC=∠CBD．

又∵∠GBC=∠BCD=90°，

∴△GCB∽△BDC，

∴=．

∵BC=4，CD=3，

∴=，

∴BG=；

（2）如圖2，

由（1）可知，此時(shí)△GBC≌△GPC，且BG=PG=，BC=PC=4．

∵GM⊥EF，CN⊥EF，

∴∠GMP=∠PNC=90°，

∴∠MGP+∠GPM=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠GPM+∠NPC=90°，

∴∠MGP=∠NPC，

∴△PGM∽△CPN，

∴=．

∴==，即PM=CN．

∵PB=PF，∴∠F=∠PBC．

又∵∠FNC=∠BCD=90°，

∴△FNC∽△BCD，

∴=．

∵BC=4，DC=3，

∴=，

∴FN=CN，

∴PM=FN．