Question

【題目】如圖，已知矩形OABC，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)在射線CO上運(yùn)動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點(diǎn)E，連接PE交AB于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝4時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）在運(yùn)動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是（8，0）；（2）存在，P的坐標(biāo)為：（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）過點(diǎn)E作CB的垂線，垂足為H，首先證明△PBC∽△BEH，然后由相似三角形的性質(zhì)求出BH＝6，得出OE＝8即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分四種情況討論：①點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí)，△POE∽△EAB；②點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí)，△POE∽△BAE；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，△OPE∽△ABE；④當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，△OEP∽△ABE；分別求解即可．

解：（1）當(dāng)t＝4時(shí)，PC＝4，

過點(diǎn)E作CB的垂線，垂足為H，如圖1所示：

∵A（2，0），C（0，3），

∴OA＝2，OC＝3，

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，

∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，

∴∠BPC＝∠EBH，

∵∠EHB＝∠BCP＝90°，

∴△PBC∽△BEH，

∴，即＝，

解得：BH＝6，

∴AE＝BH＝6，

∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（8，0）；

（2）存在；

∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，

∴∠ABE＝∠PBC，

∵∠BAE＝∠BCP＝90°，

∴△BCP∽△BAE，

∴，

∴，

∴AE＝t，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí)，如圖2所示：

①若時(shí)，△POE∽△EAB，

∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，

∴，

解得：t1＝，t2＝（舍去），

∴OP＝3﹣＝，

∴P的坐標(biāo)為（0，）；

②若△POE∽△BAE，

∵∠PEO和∠BEA明顯不相等，

∴此情況不成立；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，如圖3所示：

③若，則△OPE∽△ABE，

∴，

解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），

OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，

∴P的坐標(biāo)為（0，﹣）；

④若，則△OEP∽△ABE，

即，整理得：t2＝﹣9，

∴這種情況不成立，

綜上所述，存在以P、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，P的坐標(biāo)為：（0，）或（0，﹣）．