【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸、y軸分別交于A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點.

(1)試求拋物線的解析式;
(2)P是直線BC上方拋物線上的一個動點,設P的橫坐標為t,P到BC的距離為h,求h與t的函數(shù)關系式,并求出h的最大值.
(3)設點M是x軸上的動點,在平面直角坐標系中,是否存在點N,使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出所有符合條件的點N坐標;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點,

,解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;


(2)

解:過點P作PD⊥x軸于點D,交BC于點E,PH⊥BC于點H,連結PB、PC.

∵B(3,0)、C(0,3),

∴OB=OC=3,

設直線BC解析式為y=kx+n,則 ,解得 ,

∴直線BC解析式為y=﹣x+3,

∵點P的橫坐標為t,且在拋物線y=﹣x2+2x+3上,

∴P(t,﹣t2+2t+3),

又∵PD⊥x軸于點D,交BC于點E,

∴D(t,0),E(t,﹣t+3),

∴PE=(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,

=

又∵ ,

,

∴h與t的函數(shù)關系式為: (0<t<3),

∴當 時,h有最大值為


(3)

解:存在.

若AM為菱形對角線,則AM與CN互相垂直平分,

∴N(0,﹣3);

若CM為菱形對角線,則 ,

若AC為菱形對角線,則CN=AM=CM,

設M(m,0),由CM2=AM2,得m2+32=(m+1)2,解得m=4,

∴CN=AM=CM=5,

∴N(﹣5,3).

綜上可知存在點N,使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形,符合條件的點N有4個:N1(0,﹣3), , ,N4(﹣5,3)


【解析】(1)由A、B、C三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)過點P作PD⊥x軸于點D,交BC于點E,PH⊥BC于點H,連結PB、PC,可先求得直線BC的解析式,則可用t分別表示出E的坐標,從而可表示出PE的長,再可用t表示出△PBC的面積,再利用等積法可用t表示出h,利用二次函數(shù)的性質可求得h的最大值;(3)分AM、CM和AC為對角線三種情況,分別根據(jù)菱形的性質可求得N點的坐標.

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