Question

（2013•資陽）如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線y=

a

x

（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．
（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？
（2）假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．

Answer 1

分析：（1）①運用待定系數(shù)法可分別得到直線l與雙曲線的解析式；
②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y(tǒng)=-x=5-m，根據(jù)題意得方程組

y= 4 x y=-x+5-m

只有一組解時，化為關于x的方程得x²+（m-5）x+4=0，則△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，當m=9時，公共點不在第一象限，所以m=1；
（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據(jù)相似比可得到AF=

a

n

，DF=

b

n

，則D點坐標為（a-

a

n

，

b

n

），然后把D點坐標代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的值．

解答：解：（1）①把D（4，1）代入y=

a

x

得a=1×4=4，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

（x＞0）；
設直線l的解析式為y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得

4k+t=1 k+t=4

，
解得

k=-1 t=5

．
所以直線l的解析式為y=-x+5；
②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y(tǒng)=-x+5-m，
當方程組

y= 4 x y=-x+5-m

只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，
化為關于x的方程得x²+（m-5）x+4=0，
△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，
而m=9時，解得x=-2，故舍去，
所以當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點；

（2）作DF⊥x軸，如圖，
∵點D為線段AB的n等分點，
∴DA：AB=1：n，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO，
∴

AF

AO

=

DF

BO

=

AD

AB

，即

AF

a

=

DF

b

=

1

n

，
∴AF=

a

n

，DF=

b

n

，
∴OF=a-

a

n

，
∴D點坐標為（a-

a

n

，

b

n

），
把D（a-

a

n

，

b

n

）代入y=

a

x

得（a-

a

n

）•

b

n

=a，
解得b=

n2

n-1

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運用相似比進行幾何計算．