Question

【題目】如圖，已知一個(gè)直角三角形紙片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分別是AC、AB邊上的點(diǎn)，連接EF．

（1）如圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S四邊形ECBF＝3S△EDF，AE的長(zhǎng)為 ；

（2）如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF∥CA．

①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；

②求EF的長(zhǎng)；

（3）如圖③，若FE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，CN＝1，CE＝，則= ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①四邊形AEMF是菱形，見解析；②EF；（3）

【解析】

(1)先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF=S△DEF，則易得S△ABC=4S△AEF，再證明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長(zhǎng)；

（2）①鄰邊相等的平行四邊形即為菱形，即可證明AEMF為菱形；

②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②，設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4-x，先證明△CME∽△CBA得到，解出x后計(jì)算出CM=，再利用勾股定理計(jì)算出AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF；

（3）如圖③，作FH⊥BC于H，先證明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，再證明△BFH∽△BAC，利用相似比可計(jì)算出x=，則可計(jì)算出FH和BH，接著利用勾股定理計(jì)算出BF，從而得到AF的長(zhǎng)，于是可計(jì)算出的值．

(1)如圖①，

∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，

∵S四邊形ECBF=3S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∵∠EAF=∠BAC

∴Rt△AEF∽Rt△ABC，

∴，即S

AE=

(2)①四邊形AEMF是菱形，理由如下：

如圖②：∵折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，

∴∠CAB＝∠EMF，AE＝ME，

又∵MF∥CA，

∴∠CEM＝∠EMF．

∴∠CAB＝∠CEM．

∴EM∥AF．

∴四邊形AEMF是平形四邊形．

又∵AE＝ME，

∴四邊形AEMF是菱形

②連接AM、AM與EF交于點(diǎn)O，如圖②，

設(shè)AE＝x，則AE＝ME＝x，EC＝4－x．

∵∠＝∠CAB，∠ECM＝∠ACB＝90°，

∴Rt△ECM∽Rt△ACB

∴

即

解得x＝，CM=

在Rt△ACM中，

AM＝

∵S菱形AEMF=

∴EF=

（3）如圖③，作FH⊥BC于H

∵EC∥FH，

∴△NCE∽△NFH，

∴CN:NH=CE:FH，即1:NH=:FH，

∴FH:NH=4:7，

設(shè)FH=4x，NH=7x，

則CH=7x1，BH=3(7x1)=47x，

∵FH∥AC，

∴△BFH∽△BAC，

∴BH:BC=FH:AC，即(47x):3=4x:4，

解得x=，

∴FH=4x=，BH=47x=

在Rt△BFH中，BF=

∴AF=ABBF=52=3，

∴