Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|． （Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；
（Ⅱ）若a＞0，求證：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x﹣1|，不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2， ∴ ①，或 ②，或 ③，
解①求得 ≤x＜1，解②求得 1≤x≤2，解③求得2＜x≤ ．
綜合可得，不等式的解集為{x| ≤x≤ }．
（Ⅱ）證明：若a＞0，則f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|≤|（ax﹣1）﹣（ax﹣a）|=|a﹣1|=f（a），
即f（ax）﹣af（x）≤f（a）成立
【解析】（Ⅰ）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），從而可證結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．