Question

如圖，直線x=-4與x軸交于點(diǎn)E，一開口向上的拋物線過(guò)原點(diǎn)交線段OE于點(diǎn)A，交直線x=-4于點(diǎn)B，過(guò)B且平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，由拋物線的對(duì)稱性可知OF=AF，則2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出==，即AE=2AF②，①與②聯(lián)立組成二元一次方程組，解出AE=2，AF=1，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）先由拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0），設(shè)此拋物線的解析式為y=ax²+bx，再根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0）和A點(diǎn)（-2，0），求出對(duì)稱軸為直線x=-1，則由B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4得出C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，BC=6．再由OB＞OC，可知當(dāng)△OBC是等腰三角形時(shí)，可分兩種情況討論：①當(dāng)OB=BC時(shí)，設(shè)B（-4，y₁），列出方程，解方程求出y₁的值，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx，運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式；②當(dāng)OC=BC時(shí)，設(shè)C（2，y₂），列出方程，解方程求出y₂的值，將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx，運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式．
解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F．
由題意，可知OF=AF，則2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴==，即AE=2AF②，
①與②聯(lián)立，解得AE=2，AF=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）；

（2）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0），
∴可設(shè)此拋物線的解析式為y=ax²+bx．
∵拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0）和A點(diǎn)（-2，0），
∴對(duì)稱軸為直線x==-1，
∵B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，
∴BC=2-（-4）=6．
∵拋物線開口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴當(dāng)△OBC是等腰三角形時(shí)，分兩種情況討論：
①當(dāng)OB=BC時(shí)，設(shè)B（-4，y₁），
則16+=36，解得y₁=±2（負(fù)值舍去）．
將A（-2，0），B（-4，2）代入y=ax²+bx，
得，解得．
∴此拋物線的解析式為y=x²+x；
②當(dāng)OC=BC時(shí)，設(shè)C（2，y₂），
則4+=36，解得y₂=±4（負(fù)值舍去）．
將A（-2，0），C（2，4）代入y=ax²+bx，
得，解得．
∴此拋物線的解析式為y=x²+x．
綜上可知，若△OBC是等腰三角形，此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x²+x或y=x²+x．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到二次函數(shù)的對(duì)稱性，相似三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．