Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)弦ED⊥AB于H，交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)ED至P，
（1）若PF=PC，求證：PC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在劣弧AC的什么位置時(shí)，才能有使AD²=DE•DF，為什么？

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)ED⊥AB，得∠OAC+∠AFH=90°，再由PF=PC，得∠OCA+∠PCA=90°，則PC是⊙O的切線；
（2）連接AE，由題意得△ADF∽△EDA，則弧AD=弧CD，即點(diǎn)D為弧AC的中點(diǎn)．

解答：（1）證明：連接OC，
∴OA=OC
∴∠OAC=∠OCA┅┅┅┅┅┅（1分）
∵ED⊥AB
∴∠OAC+∠AFH=90°，
∵PF=PC
∴∠PFC=∠PCF
∴∠OAC+∠PCF=90°
∴∠OCA+∠PCA=90°┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）
即OC⊥PC，
故PC是⊙O的切線┅┅┅┅┅┅┅┅（4分）

（2）證明：連接AE
∵AD²=DE•DF
即

AD

DE

=

DF

AD

又∵∠ADF=∠EDA
∴△ADF∽△EDA┅┅┅┅┅┅（6分）
∴∠DAF=∠DEA，
∴弧AD=弧CD
即點(diǎn)D為弧AC的中點(diǎn)┅┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．