【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點為坐標(biāo)原點,直線與軸交于點,與軸交于點,直線與軸交于點,且點與點關(guān)于軸對稱.
(1)求直線的解析式;
(2)點為線段上一點,點為線段上一點,,連接,設(shè)點的橫坐標(biāo)為,的面積為(),求與之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)取最大值時,若點是平面內(nèi)的一點,在直線上是否存在點,使得以點,,,為頂點的四邊形是菱形,若存在,請直接寫出符合條件的點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1) ;(2) ;(3)存在,N點坐標(biāo)為(,)或(,)或(0,3)或(,)
【解析】
(1)求出A(-4,0),B(0,3),C(4,0),利用待定系數(shù)法求BC的解析式即可;
(2)過點A作AD⊥BC于點D,過點P作PE⊥BC于點E,PF⊥OB于點F,設(shè)點P的坐標(biāo)為(,),求出AD的長,利用三角形函數(shù)求出,BQ=AB-PB=5+,再由,代入所求量即可求解;
(3)由(2)求出P、Q點坐標(biāo),分四種情況分別求N點坐標(biāo):當(dāng)N點在PQ上方時;當(dāng)N點在PQ下方時;當(dāng)PQ為菱形對角線時;當(dāng)PN為菱形對角線時.
(1)對于直線當(dāng),;當(dāng),,
∴,
∵點C與點A關(guān)于y軸對稱,
∴點C的坐標(biāo)為,
設(shè)直線BC的解析式為,
將點B、C代入解析式可得:,
解得:,
∴直線BC的解析式為;
(2)如圖:過點A作AD⊥BC于點D,過點P作PE⊥BC于點E,PF⊥OB于點F,
∵,C,
∴OA=OC=4,OB=3,
∴AC=8,AB=BC=5,
∴,即,
∴,
∵點P在直線上,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(,),
∴,cos∠BPF=cos∠BAO,
即,
∴,
∵,
∴,
∵AP=BQ,
∴,
∴;
(3)∵,
∴當(dāng)時,S有最大值,
∴點P的坐標(biāo)為(,),
∴,
∵點Q在直線上,
設(shè)點Q的坐標(biāo)為(,),
∵,
∴,
解得:,
∵Q在線段BC上,
∴,
∴點Q的坐標(biāo)為(,),
∴PQ∥x軸,
∴,
如圖:當(dāng)N點在PQ上方時,過N點作NH⊥PQ交于點H,
∵PQ∥軸,
∴,
∵PN=PQ=4,
∴,
∴N點縱坐標(biāo)為,
∴N點橫坐標(biāo)為,
解得:,
∴點N的坐標(biāo)為(,),
同理,當(dāng)N點在PQ下方時,N點縱坐標(biāo)為,
∴點N的坐標(biāo)為(,);
∵P、Q關(guān)于y軸對稱,當(dāng)PQ為菱形對角線時,
∴當(dāng)點N的坐標(biāo)為(0,3)時,NPMQ是菱形;
如圖:當(dāng)PN為菱形對角線時,
作Q點關(guān)于直線對稱的點為M,
設(shè)QM與PN的交點為G,過G點作LK⊥PQ交PQ于點K,交MN于點L,
∵MQ⊥PN,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵點P,Q,N,M為頂點的四邊形是菱形,且PN為菱形對角線,
∴MN∥PQ,即ML∥KQ,
又∵Q點關(guān)于直線對稱的點為M,
∴QG=GM
∴,
∴,
∴N點縱坐標(biāo)為,
∴N點橫坐標(biāo)為,
解得:,
∴點N的坐標(biāo)為(,),
綜上所述:點P,Q,M,N為頂點的四邊形是菱形時,N點坐標(biāo)為(,)或(,)或(0,3)或(,) .
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【題目】如圖,,分別與相切于點和點,點為弧上一點,連接并延長交于點,為弧上的一點,連接交于點,連接,且.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,連接,若,求證:平分;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接交于點,連接,,,求的長.
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【題目】如圖①,△ABC是等腰直角三角形,在兩腰AB、AC外側(cè)作兩個等邊三角形ABD和ACE,AM和AN分別是等邊三角形ABD和ACE的角平分線,連接CM、BN,CM與AB交于點P.
(1)求證:CM=BN;
(2)如圖②,點F為角平分線AN上一點,且∠CPF=30°,求證:△APF∽△AMC;
(3)在(2)的條件下,求的值.
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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交于點M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長線于點M.請判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點M,若OD=1,OB=,請直接寫出當(dāng)點C與點M重合時AC的長.
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【題目】閱讀下列內(nèi)容,并解決問題.
一道習(xí)題引發(fā)的思考
小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時,遇到了一個習(xí)題,并對有關(guān)內(nèi)容進行了研究;
習(xí)題再現(xiàn):
古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出,如果表示大于1的整數(shù),,,,那么,,為勾股數(shù).你認為對嗎?如果對,你能利用這個結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎?
資料搜集:
定義:勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù).一般地,若三角形三邊長,,都是正整數(shù),且滿足,那么,,稱為一組勾股數(shù).
關(guān)于勾股數(shù)的研究:我囯西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了“勾三,股四,弦五”,這組數(shù)是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股效,畢達哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進行過勾股數(shù)的研究.習(xí)題中的表達式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式,這個表達式未給出全部勾股數(shù),世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九幸算術(shù)),其勾股數(shù)公式為:,,,其中,,是互質(zhì)的奇數(shù).(注:,,的相同倍數(shù)組成的一組數(shù)也是勾股數(shù))
問題解答:
(1)根據(jù)柏拉圖的研究,當(dāng)時,請直接寫出一組勾股數(shù);
(2)若表示大于1的整數(shù),試證明是一組勾股數(shù);
(3)請舉出一個反例(即寫出一組勾股數(shù)),說明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù).
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【題目】如圖,菱形OABC的一邊OA在x軸負半軸上.O是坐標(biāo)原點,點A(﹣13,0),對角線AC與OB相交于點D,且ACOB=130,若反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過點D,并與BC的延長線交于點E.
(1)求雙曲線y=的解析式;
(2)求S△AOB:S△OCE之值.
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【題目】某工程隊承接了60萬平方米的綠化工程,由于情況有變,…設(shè)原計劃每天綠化的面積為萬平方米,列方程為,根據(jù)方程可知省路的部分是( )
A.實際每天的工作效率比原計劃提高了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
B.實際每天的工作效率比原計劃提高了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
C.實際每天的工作效率比原計劃降低了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
D.實際每天的工作效率比原計劃降低了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3在坐標(biāo)系中的位置如圖所示,它與x,y軸的交點分別為A,B,P是其對稱軸x=1上的動點,根據(jù)圖中提供的信息,給出以下結(jié)論:①2a+b=0,②x=3是ax2+bx+3=0的一個根,③△PAB周長的最小值是+3.其中正確的是( )
A. ①②③ B. 僅有①② C. 僅有①③ D. 僅有②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,.將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到,其中點的對應(yīng)點落在邊上,則圖中陰影部分的面積是_____.
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