Question

【題目】已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．
試探究下列問題：
（1）如圖1，若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn)，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）

（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：上述結(jié)論①，②仍然成立，

理由為：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠ADG+∠EDC=90°，

∴∠ADG+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，即AF⊥DE

（2）

解：上述結(jié)論①，②仍然成立，

理由為：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，

∵∠ADG+∠EDC=90°，

∴∠ADG+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，即AF⊥DE

（3）

解：四邊形MNPQ是正方形．

理由為：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，

∴MQ=PN= DE，PQ=MN= AF，MQ∥DE，PQ∥AF，

∴四邊形OHQG是平行四邊形，

∵AF=DE，

∴MQ=PQ=PN=MN，

∴四邊形MNPQ是菱形，

∵AF⊥DE，

∴∠AOD=90°，

∴∠HQG=∠AOD=90°，

∴四邊形MNPQ是正方形．

【解析】（1）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；（2）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；（3）首先設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，由點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，即可得MQ=PN= DE，PQ=MN= AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可證得四邊形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形．