【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點E、F,連接DE、DF.
(1)試判定四邊形AEDF的形狀,并證明你的結(jié)論.
(2)若AE=5,AD=8,求EF的長.
(3)△ABC滿足什么條件時,四邊形AEDF是正方形?
【答案】(1) 四邊形AEDF是菱形,證明見解析;(2)6;(3) 當(dāng)△ABC中∠BAC=90°時,四邊形AEDF是正方形.
【解析】
(1)由∠BAD=∠CAD,AO=AO,∠AOE=∠AOF=90°證△AEO≌△AFO,推出EO=FO,得出平行四邊形AEDF,根據(jù)EF⊥AD得出菱形AEDF;(2)由(1)知菱形AEDF對角線互相垂直平分,故AO=AD=4,根據(jù)勾股定理得EO=3,從而得到EF=6;(3)根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°時,四邊形AEDF是正方形.
(1)四邊形AEDF是菱形,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
又∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵,
∴△AEO≌△AFO(ASA),
∴EO=FO,
∵EF垂直平分AD,
∴EF、AD相互平分,
∴四邊形AEDF是平行四邊形
又EF⊥AD,
∴平行四邊形AEDF為菱形;
(2)∵EF垂直平分AD,AD=8,
∴∠AOE=90°,AO=4,
在RT△AOE中,∵AE=5,
∴EO==3,
由(1)知,EF=2EO=6;
(3)當(dāng)△ABC中∠BAC=90°時,四邊形AEDF是正方形;
∵∠BAC=90°,
∴四邊形AEDF是正方形(有一個角是直角的菱形是正方形).
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【題目】如圖1,在長方形ABCD中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,點P從點B出發(fā),以2cm/s的速度沿BC向點C運動,設(shè)點P的運動時間為ts.
(1)PC=___cm;(用含t的式子表示)
(2)當(dāng)t為何值時,△ABP≌△DCP?.
(3)如圖2,當(dāng)點P從點B開始運動,此時點Q從點C出發(fā),以vcm/s的速度沿CD向點D運動,是否存在這樣的v值,使得某時刻△ABP與以P,Q,C為頂點的直角三角形全等?若存在,請求出v的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知線段,是直線上一動點,點,分別為,的中點,對下列各值:①線段的長;②的周長;③的面積;④直線,之間的距離;⑤的大小.其中不會隨點的移動而改變的是_____.(填序號)
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【題目】先閱讀下面的例題,再按要求解答后面的問題.
例題:解一元二次不等式x2﹣3x+2>0
解:令y=x2﹣3x+2,畫出y=x2﹣3x+2如圖所示,由圖象可知:
當(dāng)x<1或x>2時,y>0所以一元二次不等式x2﹣3x+2>0的解集為x<1或x>2
(1)填空:x2﹣3x+2<0的解集為 ;x2﹣3x≥0的解集為 .
(2)用類似的方法解一元二次不等式:﹣x2﹣2x+3>0.
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【題目】某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價不低于成本,且不高于80元,經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
售價x(元/千克) | 50 | 60 | 70 |
銷售量y(千克) | 100 | 80 | 60 |
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤=收入﹣成本),并指出售價為多少元時獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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【題目】為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額,校園小記者隨機調(diào)查了本校部分同學(xué),根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出了如下兩個尚不完整的統(tǒng)計圖表.
調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表
組別 | 分組(單位:元) | 人數(shù) |
A | 0≤x<30 | 4 |
B | 30≤x<60 | 16 |
C | 60≤x<90 | a |
D | 90≤x<120 | b |
E | x≥120 | 2 |
請根據(jù)以上圖表,解答下列問題:
(1)填空:這次被調(diào)查的同學(xué)共有__人,a+b=__,m=___;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù);
(3)該校共有學(xué)生1000人,請估計每月零花錢的數(shù)額x在60≤x<120范圍的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D是AB邊上一點,以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點 E,連接DE并延長DE交BC的延長線于點F.
(1)求證:BD=BF;
(2)若CF=2,tanB=,求⊙O的半徑.
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