Question

【題目】如圖，為的直徑，于，在上，連接，，延長與的延長線交于，在上，且．

求證：是的切線；

若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連結OD，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根據等腰三角形的性質由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，則可根據切線的判定定理得到FD是⊙O的切線；

（2）連結AD，如圖，利用圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，則∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根據相似的性質得，再在Rt△ABD中，根據正切的定義得到tan∠A=tan∠BDF==，于是可計算出DF=2，從而得到EF=2．

連結，如圖，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線；

連結，如圖，

∵為的直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

而，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴．