【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D,與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)證明:DF是⊙O的切線;
(2)若AC=3AE,FC=6,求AF的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)AF=3.
【解析】
(1)連接OD,根據(jù)等邊對(duì)等角性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)證得OD⊥DF,從而證得DF是⊙O的切線;
(2)根據(jù)圓周角定理、勾股定理得出BE=2AE,CE=4AE,然后根據(jù)勾股定理求得BE=2AE,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),即可得到答案.
(1)證明:如圖1,連接OD,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切線;
(2)解:如圖2,連接BE,AD,
∵AB是直徑,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,AC=3AE,
∴AB=3AE,CE=4AE,
∴,
∴,
∵∠DFC=∠AEB=90°,
∴DF∥BE,
∴△DFC∽△BEC,
∴ ,
∵CF=6,
∴DF=3,
∵AB是直徑,
∴AD⊥BC,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=∠ADC=90°,∠DAF=∠FDC,
∴△ADF∽△DCF,
∴,
∴DF2=AFFC,
∴,
∴AF=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1)、(2,1).
(1)以O點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2),畫(huà)出圖形;
(2)B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是 ;C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)是 ;
(3)在BC上有一點(diǎn)P(x,y),按(1)的方式得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,頂點(diǎn)B在x軸正半軸上.若拋物線p=ax2-10ax+8(a>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動(dòng),△DEF運(yùn)動(dòng),并滿(mǎn)足:點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng),且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn).
(1)求證:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形?若能,求出BE的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)線段AM最短時(shí),求重疊部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題背景:如圖,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到,與交于點(diǎn),可推出結(jié)論:
問(wèn)題解決:如圖,在中,,,.點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,PQ切⊙O于E,AC⊥PQ于C,交⊙O于D.
(1)求證:AE平分∠BAC;
(2)若AD=2,EC= ,∠BAC=60°,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點(diǎn)D、F分別在AC、BC邊上,設(shè)CD的長(zhǎng)度為x,△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E,F.
(1)若∠E+∠F=α,求∠A的度數(shù)(用含α的式子表示);
(2)若∠E+∠F=60°,求∠A的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,連AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,若AI=2CD,點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn),連接EI,IC,若IC=6,ID=5,則IE的長(zhǎng)為_____.
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