【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于A(4,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)A的直線y=﹣x+4交拋物線于點(diǎn)C.

(1)求此拋物線的解析式;
(2)在直線AC上有一動點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)E在某個位置時,使△BDE的周長最小,求此時E點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于兩點(diǎn)A(4,0),B(﹣1,0),

,解得 ,

∴此拋物線的解析式為:y=x2﹣3x﹣4


(2)解:如圖1,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F,連接DF交AC于點(diǎn)E,

由(1)得,拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4,

∴D(0,﹣4),

∵直線y=﹣x+4交拋物線于點(diǎn)C,

解得, ,

∴C(﹣2,6),

∵A(4,0),

∵直線AC解析式為y=﹣x+4,直線BF⊥AC,且B(﹣1,0),

∴直線BF解析式為y=x+1,

設(shè)點(diǎn)F(m,m+1),

∴G( , ),

∵點(diǎn)G在直線AC上,

∴﹣ +4= ,

∴m=4,

∴F(4,5),

∵D(0,﹣4),

∴直線DF解析式為y= x﹣4,

∴直線DF和直線AC的交點(diǎn)E( , ).


【解析】(1)直接把點(diǎn)A(4,0),B(﹣1,0)代入拋物線y=ax2+bx﹣4求出a、b的值,進(jìn)而可得出拋物線的解析式;(2)先判斷出周長最小時BE⊥AC,即作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)E,聯(lián)立方程組即可.
【考點(diǎn)精析】利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和軸對稱-最短路線問題對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點(diǎn).;已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn),求最短路徑;與確定起點(diǎn)相反,已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn),求最短路徑;已知起點(diǎn)和終點(diǎn),求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】體育課上,體育老師對七年級一個班的學(xué)生進(jìn)行了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的測試,得到一組測試分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù),并將測試所得分?jǐn)?shù)繪制如圖所示的統(tǒng)計圖,圖中從左到右的學(xué)生數(shù)人數(shù)之比為2 : 3 : 4 : 1,且成績?yōu)?分的學(xué)生有12人,根據(jù)以上信息解答下列問題:

(1) 這個班級有多少名學(xué)生?

(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 分,中位數(shù)是 分.

(3)這個班級學(xué)生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目測試的平均成績是多少?

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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為邊BC上一點(diǎn),以AB,BD為鄰邊作ABDE,連接AD,EC.

(1)求證:△ADC≌△ECD;

(2)若BD=CD,求證:四邊形ADCE是矩形.

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【題目】像一個人臉郁悶的神情.如圖,邊長為a的正方形紙片,剪去兩個一樣的小直角三角形(陰影部分)和一個長方形(陰影部分)得到一個字圖案,設(shè)剪去的兩個小直角三角形的兩直角邊長分別為x、y,剪去的小長方形長和寬也分別為x,y.

(1)用含a、x、y的式子表示的面積;

(2)當(dāng)a=12,x=7,y=4時,求該圖形面積的值.

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【題目】如圖:在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且ab滿足 +(c-7)2=0.

(1) a= ,b= ,c=

(2) 若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與數(shù) 表示的點(diǎn)重合.

(3) 點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動,若點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動,同時,點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運(yùn)動,假設(shè)t秒鐘過后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代數(shù)式表示)

(4) 請問:3BC-2AB的值是否隨著時間t的變化而改變? 若變化,請說明理由;若不變,請求其值.

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【題目】在正方形網(wǎng)格中,△ABC各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(﹣5,1)、(﹣1,4),結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題:

(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1;
(2)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2;
(3)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是;點(diǎn)C2的坐標(biāo)是

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(2)求∠BOE度數(shù).

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【題目】已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(﹣2,﹣3)在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)P,求出PA+PD的最小值;
(3)若拋物線上有一動點(diǎn)P,使三角形ABP的面積為6,求P點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】如圖,直線yk1x(x≥0)與雙曲線y (x0)相交于點(diǎn)P(2,4).已知點(diǎn)A(40),B(03),連接AB,將RtAOB沿OP方向平移,使點(diǎn)O移動到點(diǎn)P,得到APB′.過點(diǎn)AACy軸交雙曲線于點(diǎn)C,連接CP.

(1)k1k2的值;

(2)求直線PC的解析式;

(3)直接寫出線段AB掃過的面積.

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