Question

【題目】如圖l，四邊形中，，為的中點，為上一動點，連接并延長至點，使得，連接、、、.

（1）四邊形一定是___________（提醒你：填特殊四邊形的名稱）；

（2）如圖2，若，，，是否存在這樣的點，使得四邊形為菱形，若存在，計算菱形的面積；若不存在，請說明理由.

（3）如圖3，若，，（），是否存在這樣的點，使得四邊形為矩形，若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在點，使得四邊形為菱形，菱形的面積為45；（3）存在點，使得四邊形為矩形，EF最大值為

【解析】

（1）根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)菱形定義可得DF=CF，根據(jù)勾股定理列方程求AF長，根據(jù)全等可證出∠DFC=90°，從而得四邊形DFCG是正方形，根據(jù)面積公式求解；（3）根據(jù)矩形定義可得∠DFC=90°，根據(jù)相似得對應(yīng)邊成比例，列出m與AF長的關(guān)系，利用二次函數(shù)的最值問題確定m的最大值，再根據(jù)勾股定理求得DC長，即為EG長，從而確定EF的長.

解：（1）四邊形DFCG一定是平行四邊形，理由如下：

∵E為DC的中點，

∴DE=CE,

∵EG=FE,

∴四邊形DFCG是平行四邊形.

（2）存在點F，使得四邊形為菱形，理由如下：

如圖2, ∵四邊形是平行四邊形，

∴當DF=FC時，四邊形是菱形,

∴AD2+AF2=BC2+BF2,

∴32+AF2=62+(9-AF)2

解得,AF=6，

∴AF=BC=6，AD=BF=3，∠A=∠B=90°,

∴△ADF≌CFB,

∴∠AFD=∠BCF,

∵∠BCF+∠BFC=90°,

∴∠AFD+∠BFC=90°,

∴∠DFC=90°,

∴四邊形是正方形,

∴S四邊形DFCG=DF2=AD2+AF2=32+62=45.

即當AF=6時，四邊形是菱形，且面積為45.

（3）存在點F，使得四邊形為矩形，理由如下：

如圖3, ∵四邊形是平行四邊形，

∴當∠DFC=90°時，四邊形是矩形,

∴∠DFA+∠BFC=90°,

∵∠ADF+∠AFD=90°,

∴∠ADF=∠BFC,

∵∠A=∠B=90°,

∴△ADF∽△BFC,

∴

設(shè)AF=x，

∴，

∴ ，

∵m與x成二次函數(shù)關(guān)系，且a= ,

∴拋物線開口向下，m有最大值，

∴當x= 時，m的最大值為 .

作DM⊥BC，垂足為M，由勾股定理得，DC2=DM2+CM2

∴當m為最大值時，DC長最大為 ，

∵四邊形是矩形

∴EG=DC,

∴EF的最大值為 .